يشرح هذا الدرس كيفية حل المعادلات التفاضلية البسيطة من الرتبة الأولى بالصيغة:
\[ \frac{dy}{dx} = f(x) \]
يتم حل هذه المعادلات عن طريق تكامل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \). يمثل الثابت \( C \) ثابت التكامل.
أمثلة محلولة
أمثلة محلولة خطوة بخطوة
المثال 1
حل:
\[ \frac{dy}{dx} = 2x + 1 \]
الحل:
\[ \int y' \, dx = \int (2x + 1)\,dx \]
\[ y = x^2 + x + C \]
يمكنك التحقق من خلال التفاضل من أن هذا يلبي المعادلة الأصلية.
المثال 2
حل:
\[ 2\frac{dy}{dx} = \sin(2x) \]
الحل:
\[ y' = \frac{1}{2}\sin(2x) \]
\[ y = \int \frac{1}{2}\sin(2x)\,dx \]
ليكن \( u = 2x \)، إذن \( du = 2dx \implies dx = \frac{1}{2}du \):
\[ y = \int \frac{1}{4}\sin(u)\,du \]
\[ y = -\frac{1}{4}\cos(u) + C = -\frac{1}{4}\cos(2x) + C \]
المثال 3
حل:
\[ y'e^{-x} + e^{2x} = 0 \]
الحل:
اضرب كلا الطرفين في \( e^x \)، بسّط وأعد الكتابة كـ:
\[ y' = -e^{3x} \]
تكامل:
\[ y = \int -e^{3x}\,dx \]
ليكن \( u = 3x \)، \( du = 3dx \):
\[ y = \int -\frac{1}{3}e^{u}\,du \]
\[ y = -\frac{1}{3}e^{3x} + C \]
تمارين التدريب والإجابات
مسائل التدريب والحلول
حل ما يلي:
- \( 2\dfrac{dy}{dx} = 6x \)
- \( y'\cos(x) = \sin(2x) \)
- \( y'e^x = e^{3x} \)
الإجابات:
- \( y = \dfrac{3}{2}x^2 + C \)
- \( y = -2\cos(x) + C \)
- \( y = \dfrac{1}{2}e^{2x} + C \)