طريقة التفاضل اللوغاريتمي

النظرية، أمثلة محلولة خطوة بخطوة مع الحلول، البراهين، والمراجع

تُستخدم طريقة التفاضل اللوغاريتمي في حساب التفاضل والتكامل الاستفادة من خصائص الدوال اللوغاريتمية لتفاضل الدوال المعقدة والدوال التي لا تنطبق عليها صيغ التفاضل الاعتيادية بشكل مباشر. يتم عرض عدة أمثلة مع حلول مفصلة.

أمثلة مع حلول تفصيلية

المثال 1

أوجد مشتقة:

\[ y = x^{\sin x} \]
الحل للمثال 1

نلاحظ أولاً عدم وجود صيغة قياسية يمكن استخدامها لتفاضل هذه الدالة مباشرة. يمكن حساب المشتقة الأولى بأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا طرفي \( y = x^{\sin x} \):

\[ \ln y = \ln \left( x^{\sin x} \right) \]

استخدم خصائص اللوغاريتم لإعادة كتابة الطرف الأيمن:

\[ \ln y = \sin x \ln x \]

نقوم الآن بتفاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \)، باستخدام قاعدة السلسلة في الطرف الأيسر وقاعدة الضرب في الطرف الأيمن:

\[ \dfrac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \left( \dfrac{1}{x} \right) \]

اضرب كلا الطرفين في \( y \):

\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) y \]

عوض عن \( y = x^{\sin x} \):

\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) x^{\sin x} \]

المثال 2

أوجد المشتقة \( y' \) للدالة \( y \) المعطاة بـ:

\[ y = x e^{-x^2} \]
الحل للمثال 2

نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين:

\[ \ln y = \ln x + \ln e^{-x^2} \]

بسّط الحد \( \ln e^{-x^2} \):

\[ \ln y = \ln x - x^2 \]

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} - 2x \]

اضرب جميع الحدود في \( y \):

\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) y \]

عوض عن \( y = x e^{-x^2} \):

\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) x e^{-x^2} \]

التبسيط:

\[ y' = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} \]

المثال 3

أوجد المشتقة \( y' \) للدالة \( y \) المعطاة بـ:

\[ y = 3x^2 e^{-x} \]
الحل للمثال 3

نأخذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين:

\[ \ln y = \ln 3 + \ln(x^2) + \ln e^{-x} \]

بسّط الحدود:

\[ \ln y = \ln 3 + 2 \ln x - x \]

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ \dfrac{y'}{y} = 0 + \dfrac{2}{x} - 1 \]

اضرب جميع الحدود في \( y \):

\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) y \]

عوض عن \( y = 3x^2 e^{-x} \):

\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) 3x^2 e^{-x} \]

أعد الكتابة على النحو التالي:

\[ y' = 3x(2 - x) e^{-x} \]

ملاحظة: كممرين، استخدم قاعدة الضرب الاعتيادية للتفاضل لتفاضل الدالة أعلاه ومقارنة النتائج.

المثال 4

أوجد المشتقة \( y' \) للدالة \( y \) المعطاة بـ:

\[ y = (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]
الحل للمثال 4

خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين وافرد التعابير:

\[ \ln y = 2 \ln(1 - x) + 4 \ln(x + 1) \]

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ \dfrac{y'}{y} = -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \]

اضرب جميع الحدود في \( y \):

\[ y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]

التبسيط:

\[ y' = -2(1 - x)(x + 1)^3 + 4(x + 1)^3(1 - x)^2 \]

ملاحظة: استخدم قواعد الضرب والسلسلة الاعتيادية لتفاضل الدالة الأصلية مباشرة والتحقق من النتيجة.

المثال 5

أوجد المشتقة \( y' \) للدالة \( y \) المعطاة بـ:

\[ y = \dfrac{\tan x}{e^x} \]
الحل للمثال 5

خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين:

\[ \ln y = \ln(\tan x) - \ln e^x \]

بسّط \( \ln e^x = x \):

\[ \ln y = \ln(\tan x) - x \]

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \]

اضرب جميع الحدود في \( y \):

\[ y' = \left( \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \right) \dfrac{\tan x}{e^x} \]

التبسيط:

\[ y' = \dfrac{\sec^2 x - \tan x}{e^x} \]

ملاحظة: استخدم قاعدة القسمة لتفاضل هذه الدالة مباشرة والتحقق.

المثال 6

أوجد المشتقة \( y' \) للدالة \( y \) المعطاة بـ:

\[ y = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]
الحل للمثال 6

خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين وافرد باستخدام خصائص اللوغاريتم:

\[ \ln y = \ln(x - 2) + \ln(x + 4) - \ln(x + 1) - \ln(x + 5) \]

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \]

اضرب جميع الحدود في \( y \):

\[ y' = \left( \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \right) \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]

التبسيط:

\[ y' = \dfrac{2(2x^2 + 13x + 29)}{(x + 1)^2 (x + 5)^2} \]

ملاحظة: استخدم قاعدة القسمة مباشرة لمقارنة النتائج.

المثال 7

استخدم التفاضل اللوغاريتمي لإثبات قاعدة الضرب \( y = uv \)، حيث \( u \) و \( v \) دالتان في \( x \).

الحل للمثال 7

خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين وافرد:

\[ \ln y = \ln u + \ln v \]

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \]

اضرب جميع الحدود في \( y \):

\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) uv \] \[ y' = u'v + v'u \]

ملاحظة: النتيجة التي تم الحصول عليها هي قاعدة الضرب للتفاضل المعروفة.

المثال 8

استخدم التفاضل اللوغاريتمي لإثبات قاعدة القسمة \( y = \dfrac{u}{v} \)، حيث \( u \) و \( v \) دالتان في \( x \).

الحل للمثال 8

خذ اللوغاريتم الطبيعي لكلا الطرفين وافرد باستخدام خصائص اللوغاريتم:

\[ \ln y = \ln u - \ln v \]

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \]

اضرب جميع الحدود في \( y \):

\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) \dfrac{u}{v} \] \[ y' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2} \]

ملاحظة: النتيجة التي تم الحصول عليها هي قاعدة القسمة للتفاضل المعروفة.

المزيد من المراجع والروابط