المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية ذات الجذرين الحقيقيين المتميزين

النظرية، المعادلات المميزة، الأمثلة المحلوة مع الشروط الأولية، وتمارين التدريب

يشرح هذا الدرس كيفية حل المعادلات التفاضلية الخطية المتجانسة من الرتبة الثانية ذات المعاملات الثابتة عندما يكون للمعادلة المميزة (المساعدة) جذران حقيقيان متميزان. يتضمن أمثلة وتمارين خطوة بخطوة.

الطريقة العامة

تأمل المعادلة التفاضلية:

\[ y'' + ay' + by = 0 \]

نكون المعادلة المميزة (المساعدة):

\[ k^2 + ak + b = 0 \]

إذا كان لهذه المعادلة التربيعية جذران حقيقيان متميزان \( k_1 \neq k_2 \)، فإن الحل العام هو:

صيغة الحل العام:
\[ y = Ae^{k_1 x} + Be^{k_2 x} \]

حيث \( A \) و \( B \) ثوابت اختيارية.

أمثلة محلولة

أمثلة محلولة خطوة بخطوة

المثال 1

حل:

\[ y'' + 2y' - 3y = 0 \]

الحل:

المعادلة المساعدة هي:

\[ k^2 + 2k - 3 = 0 \]

التحليل:

\[ (k + 3)(k - 1) = 0 \]

الجذور:

\[ k_1 = -3, \quad k_2 = 1 \]

الحل العام:

\[ y = Ae^{-3x} + Be^{x} \]

المثال 2 (مع الشروط الأولية)

حل:

\[ y'' + 3y' - 10y = 0 \]

مع خضوعها للشروط الأولية:

\[ y(0) = 1, \quad y'(0) = 0 \]

الحل:

المعادلة المساعدة:

\[ k^2 + 3k - 10 = 0 \implies (k + 5)(k - 2) = 0 \]

الجذور:

\[ k_1 = 2, \quad k_2 = -5 \]

الحل العام:

\[ y = Ae^{2x} + Be^{-5x} \]

طبق الشروط الأولية لإيجاد \( A \) و \( B \):

1) \( y(0) = A e^0 + B e^0 = A + B = 1 \)

احسب المشتقة \( y'(x) = 2Ae^{2x} - 5Be^{-5x} \):

2) \( y'(0) = 2A - 5B = 0 \)

حل نظام المعادلات يعطي:

\[ A = \frac{5}{7}, \quad B = \frac{2}{7} \]

الحل النهائي:

\[ y = \frac{5}{7}e^{2x} + \frac{2}{7}e^{-5x} \]

تمارين التدريب والإجابات

مسائل التدريب والحلول

حل المعادلات التفاضلية التالية:

  1. \( y'' + 5y' - 6y = 0 \)
  2. \( y'' + y' - 2y = 0 \)، مع \( y(0) = 2 \)، \( y'(0) = 0 \)

الإجابات:

  1. \( y = Ae^{x} + Be^{-6x} \)
  2. \( y = \dfrac{4}{3}e^{x} + \dfrac{2}{3}e^{-2x} \)

مواضيع ذات صلة