المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية: حلان حقيقيان متساويان

النظرية، المعادلات المساعدة، التحقق، الأمثلة المحلوة مع الشروط الأولية، والموارد

يشرح هذا الدرس كيفية حل المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية عندما يكون للمعادلة المساعدة حلان حقيقيان متساويان. يتضمن أمثلة خطوة بخطوة مع حلول تفصيلية.

الطريقة العامة

تأمل معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية ذات معاملات ثابتة:

\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]

معادلتها المساعدة هي:

\[ k^2 + b k + c = 0 \]

إذا كان المميز يحقق:

\[ b^2 - 4c = 0 \]

فإن للمعادلة حلين حقيقيين متساويين، يُعطيان بـ:

\[ k = -\frac{b}{2} \]

في هذه الحالة، الحل العام للمعادلة التفاضلية هو:

صيغة الحل العام:
\[ y(x) = A e^{kx} + B x e^{kx} \]

حيث \( A \) و \( B \) ثوابت يتم تحديدها بواسطة الشروط الأولية.

التحقق

ليكن \( y = x e^{kx} \). إذن المشتقات هي:

\[ y' = e^{kx} + k x e^{kx}, \quad y'' = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} \]

بالتعويض في المعادلة التفاضلية:

\[ y'' + b y' + c y = 2 k e^{kx} + k^2 x e^{kx} + b(e^{kx} + k x e^{kx}) + c(x e^{kx}) \]

بإخراج العامل المشترك والتبسيط:

\[ e^{kx} \left[ 2k + b + x (k^2 + b k + c) \right] = 0 \]

بما أن \( k^2 + b k + c = 0 \) و \( 2k + b = 0 \) عندما \( k = -\frac{b}{2} \)، فإن الحل يحقق المعادلة التفاضلية.

أمثلة مع الحلول

أمثلة محلولة: الجذور المكررة ومسائل القيمة الأولية

المثال 1

حل:

\[ \frac{d^2 y}{dx^2} + 2 \frac{dy}{dx} + y = 0 \]

الحل:

المعادلة المساعدة:

\[ k^2 + 2 k + 1 = 0 \implies (k + 1)^2 = 0 \implies k = -1 \]

الحل العام:

\[ y(x) = A e^{-x} + B x e^{-x} \]

حيث \( A \) و \( B \) ثوابت. يمكنك التحقق بالتعويض من أن هذا يحقق المعادلة التفاضلية.

المثال 2

حل مع الشروط الأولية \( y(0) = 4 \) و \( y'(0) = 0 \):

\[ \frac{d^2 y}{dx^2} - 4 \frac{dy}{dx} + 4 y = 0 \]

الحل:

المعادلة المساعدة:

\[ k^2 - 4 k + 4 = 0 \implies (k - 2)^2 = 0 \implies k = 2 \]

الحل العام:

\[ y(x) = A e^{2x} + B x e^{2x} \]

طبق الشروط الأولية:

\[ y(0) = A = 4 \]

فاضل لإيجاد \( y'(x) \):

\[ y'(x) = 2 A e^{2x} + B (e^{2x} + 2 x e^{2x}) \]

باستخدام \( y'(0) = 0 \):

\[ y'(0) = 2A + B = 0 \implies 2(4) + B = 0 \implies B = -8 \]

الحل النهائي:

\[ y(x) = 4 e^{2x} - 8 x e^{2x} \]

موارد إضافية