المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية ذات الحلول المركبة المترافقة

النظرية، المعادلات المساعدة، الأمثلة المحلوة مع الشروط الأولية، وتمارين التدريب

يشرح هذا الدرس كيفية حل المعادلات التفاضلية من الرتبة الثانية التي تحتوي معادلتها المساعدة على جذرين مركبين مترافقين متميزين. يتضمن أمثلة وتمارين خطوة بخطوة للتدريب.

المقدمة والحل العام

تأمل معادلة تفاضلية من الرتبة الثانية:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} + b \frac{dy}{dx} + c y = 0 \]

معادلتها المساعدة هي:

\[ k^2 + b k + c = 0 \]

إذا كان المميز يحقق \( b^2 - 4c < 0 \)، فإن المعادلة التربيعية لها جذران مركبان مترافقان:

\[ k_1 = r + ti, \quad k_2 = r - ti \]

الحل العام للمعادلة التفاضلية هو:

صيغة الحل العام:
\[ y(x) = e^{rx} \left( A \cos(tx) + B \sin(tx) \right) \]

حيث \( A \) و \( B \) ثوابت اختيارية.

أمثلة مع الحلول

أمثلة محلولة

المثال 1

حل المعادلة التفاضلية:

\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \frac{dy}{dx} + 2y = 0 \]

الحل:

المعادلة المساعدة هي:

\[ k^2 + k + 2 = 0 \]

الححل يعطي جذرين مركبين مترافقين:

\[ k_1 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{7}}{2} i, \quad k_2 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{7}}{2} i \]

وبالتالي، \( r = -\frac{1}{2} \) و \( t = \frac{\sqrt{7}}{2} \). الحل العام هو:

\[ y(x) = e^{-x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{7}}{2} x\right) \right) \]

المثال 2

حل المعادلة التفاضلية مع الشروط الأولية \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \):

\[ \frac{d^2y}{dx^2} + \sqrt{3} \frac{dy}{dx} + 3y = 0 \]

الحل:

المعادلة المساعدة:

\[ k^2 + \sqrt{3} k + 3 = 0 \]

الجذور المركبة:

\[ k_1 = -\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i, \quad k_2 = -\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i \]

الحل العام:

\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]

طبق الشروط الأولية:

\( y(0) = 1 \implies A \cos(0) + B \sin(0) = A = 1 \)

المشتقة \( y'(x) = -\frac{\sqrt{3}}{2} e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \left( A \cos\left(\frac{3}{2}x\right) + B \sin\left(\frac{3}{2}x\right) \right) + e^{-\frac{\sqrt{3}}{2}x} \left( -\frac{3}{2} A \sin\left(\frac{3}{2}x\right) + \frac{3}{2} B \cos\left(\frac{3}{2}x\right) \right) \)

عند \( x = 0 \): \( y'(0) = -\frac{\sqrt{3}}{2} A + \frac{3}{2} B = 0 \implies \frac{3}{2} B = \frac{\sqrt{3}}{2} A \implies B = \frac{\sqrt{3}}{3} A \).

إذا كان \( A = 1 \)، إذن \( B = \frac{\sqrt{3}}{3} \).

الحل النهائي:

\[ y(x) = e^{- \frac{\sqrt{3}}{2} x} \left( \frac{\sqrt{3}}{3} \cos\left(\frac{3}{2} x\right) + \sin\left(\frac{3}{2} x\right) \right) \]

التمارين والإجابات

مسائل التدريب والحلول

حل المعادلات التفاضلية التالية:

  1. \( \dfrac{d^2y}{dx^2} - \dfrac{dy}{dx} + y = 0 \)
  2. \( \dfrac{d^2y}{dx^2} + y = 0 \)، مع \( y(0) = 1, y'(0) = 0 \)

الإجابات:

  1. \( y(x) = e^{x/2} \left( A \cos\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) + B \sin\left(\frac{\sqrt{3}}{2} x\right) \right) \)
  2. \( y(x) = \cos x \)

المراجع وقراءات إضافية