مشتقة دالة مرفوعة لأس دالة أخرى

طريقة التفاضل اللوغاريتمي، الاشتقاق، الأمثلة المحلوة، والتمارين

أوجد المشتقة الأولى لـ \( y = u^v \) مع إظهار جميع الخطوات.

مشتقة \( u^v \)

ملاحظة أنه بشكل عام، الدالة من الشكل \( y = u^v \)، حيث \( u \) و \( v \) دالتان، ليست دالة قوة من الشكل \( x^k \) ولا دالة أسية من الشكل \( b^x \)، وبالتالي لا يمكن تطبيق صيغ التفاضل والتكامل ومشتقاته الشائعة بشكل مباشر. هنا نقترح طريقة لإيجاد المشتقة الأولى لدالة من الشكل \( y = u^v \) حيث \( u \) و \( v \) دالتان مشتقتاهما موجودتان.

معطى:

\[ y = u^v \]

خذ اللوغاريتم الطبيعي (\( \ln \)) لكلا الطرفين:

\[ \ln y = \ln (u^v) \]

استخدم خاصية الدوال اللوغاريتمية \( \ln(u^v) = v \ln u \) في الطرف الأيمن:

\[ \ln y = v \ln u \]

فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \)، باستخدام قاعدة السلسلة وقاعدة الضرب:

\[ \dfrac{dy}{dx} \dfrac{1}{y} = \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \]

اضرب كلا الطرفين في \( y \):

\[ \dfrac{dy}{dx} = y \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]

عوض عن \( y \) بـ \( u^v \) للحصول على صيغة الإجابة النهائية:

صيغة المشتقة لـ \( u^v \):
\[ \dfrac{dy}{dx} = u^v \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]

التمارين والإجابات

مسائل التدريب والحلول

أوجد المشتقة الأولى لـ:

  1. \( y = (x+3)^{x - 2} \)
  2. \( y = (x^2+2)^{\ln x + 1} \)

الإجابات على التمارين أعلاه:

  1. \( \dfrac{dy}{dx} = (x+3)^{x - 2} \left( \ln (x+3) + \dfrac{x - 2}{x+3} \right) \)
  2. \( \dfrac{dy}{dx} = (x^2+2)^{\ln x + 1} \left( \dfrac{1}{x} \ln (x^2+2) + (\ln x + 1) \dfrac{2x}{x^2+2} \right) \)

المزيد من المراجع والروابط