أوجد المشتقة الأولى لـ \( y = x^x \) من أجل \( x > 0 \) مع عرض جميع الخطوات.
مشتقة \(x^{x}\) خطوة بخطوة
ملاحظة أن الدالة \( y = x^{x} \) ليست دالة قوة من الشكل \( x^{k} \) ولا دالة أسية من الشكل \( b^{x} \)، ولا يمكن استخدام صيغ التفاضل والتكامل ومشتقاته المعروفة لهاتين الدالتين بشكل مباشر. نحتاج إلى إيجاد طريقة أخرى لإيجاد المشتقة الأولى للدالة المعطاة.
معطى:
\[ y = x^{x} \]
خذ اللوغاريتم الطبيعي (\( \ln \)) لكلا الطرفين:
\[ \ln y = \ln\left(x^{x}\right) \]
استخدم خصائص الدوال اللوغاريتمية \( \ln A^{b} = b \ln A \) في الطرف الأيمن:
\[ \ln y = x \ln x \]
فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \)، باستخدام قاعدة السلسلة في الطرف الأيسر وقاعدة الضرب في الطرف الأيمن:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \frac{d}{dx}(x \ln x) \]
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = 1 \cdot \ln x + x \cdot \frac{1}{x} \]
بسّط الطرف الأيمن:
\[ \frac{1}{y} \cdot \frac{dy}{dx} = \ln x + 1 \]
اضرب كلا الطرفين في \( y \) وعوض بـ \( y = x^x \):
\[ \frac{dy}{dx} = y(\ln x + 1) \]
نتيجة المشتقة:
\[ \dfrac{dy}{dx} = x^{x}(\ln x + 1) \]
التمارين والإجابات
مسائل التدريب والحلول
أوجد المشتقة الأولى لـ:
- \( f(x) = x^{2x} \)
- \( g(x) = (\sin x)^{x} \)
- \( h(x) = (x^2 + 1)^{x} \)
الإجابات على التمارين أعلاه:
- \( f'(x) = 2x^{2x}(\ln x + 1) \)
- \( g'(x) = (\sin x)^{x}\left(\ln(\sin x) + \dfrac{x \cos x}{\sin x}\right) \)
- \( h'(x) = (x^2 + 1)^{x}\left(\ln(x^2 + 1) + \dfrac{2x^2}{x^2 + 1}\right) \)