إيجاد مشتقة \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) وتمثيلها بيانيا

اشتقاق قاعدة السلسلة خطوة بخطوة، الخصائص الدورية، والتحليل البياني

درس في التفاضل والتكامل حول كيفية إيجاد المشتقة الأولى لـ \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) وتمثيل كل من \( f \) و \( f' \) بيانيا من أجل \( x \in \mathbb{R} \).

رسوم بيان كل من \( \cos(x) \) و \( \arccos(\cos(x)) \)

بما أن مجال \( f \) هو \( \mathbb{R} \) و \( \cos(x) \) دالة دورية، فإن \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) هي أيضاً دالة دورية.

مع تزايد \( x \) من \( 0 \) إلى \( \pi \)، تتناقص \( \cos(x) \) من \( 1 \) إلى \( -1 \)، وتتزايد \( \arccos(\cos(x)) \) من \( 0 \) إلى \( \pi \). في الواقع، من أجل \( x \in [0, \pi] \)، تكون \( \arccos(\cos(x)) = x \). ومع تزايد \( x \) من \( \pi \) إلى \( 2\pi \)، تتزايد \( \cos(x) \) من \( -1 \) إلى \( 1 \)، وتتناقص \( \arccos(\cos(x)) \) من \( \pi \) إلى \( 0 \).

بما أن \( \cos(x) \) لها دورة قدرها \( 2\pi \)، فإن \( \arccos(\cos(x)) \) لها أيضاً دورة قدرها \( 2\pi \). يوضح الرسم البياني أدناه رسوم بيان كل من \( \arccos(\cos(x)) \) و \( \sin(x) \) من \( 0 \) إلى \( 2\pi \).

Graph of cos(x) and arccos(cos(x)) over one period

يوضح الرسم البياني أدناه رسوم بيان كل من \( \arccos(\cos(x)) \) و \( \cos(x) \) على مدى 3 دورات.

Graph of cos(x) and arccos(cos(x)) over 3 periods

مجال \( f \): \( (-\infty, +\infty) \)
مدى \( f \): \( [0, \pi] \)

مشتقة \( f(x) = \arccos(\cos(x)) \) ورسمها البياني

\( f(x) \) هي دالة مركبة، ويتم حساب المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة على النحو التالي. لتكن \( u = \cos(x) \)، ومن ثم \( f(x) = \arccos(u(x)) \).

طبق قاعدة السلسلة للتفاضل:

\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arccos(u))}{du} = (-\sin(x)) \cdot \left(-\frac{1}{\sqrt{1 - u^2}}\right) \]

عوض عن \( u = \cos(x) \):

\[ f'(x) = \sin(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - \cos^2(x)}} \]

التبسيط:

صيغة المشتقة الأولى:
\[ f'(x) = \dfrac{\sin(x)}{\sqrt{\sin^2(x)}} = \dfrac{\sin(x)}{|\sin(x)|} \]

يُظهر الشكل أدناه الدالة \( \arccos(\cos(x)) \) باللون الأحمر ومشتقاتها باللون الأزرق. لاحظ أن المشتقة غير معرفة لقيم \( x \) التي تكون عندها \( \sin(x) = 0 \)، أي عند \( x = k\pi \)، حيث \( k \) عدد صحيح. وعند نفس هذه القيم لـ \( x \)، تمتلك الدالة \( \arccos(\cos(x)) \) إما قيمة عظمى تساوي \( \pi \) أو قيمة صغرى تساوي \( 0 \).

لاحظ أنه على الرغم من أن \( \arccos(\cos(x)) \) متصلة لجميع قيم \( x \)، إلا أن مشتقاتها غير معرفة عند \( x = k\pi \).

Graph of arccos(cos(x)) and its first derivative

المزيد من المراجع والروابط