إيجاد مشتقة \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) وتمثيلها بيانيا

اشتقاق قاعدة السلسلة خطوة بخطوة، الخصائص الدورية، والتحليل البياني

درس حول كيفية إيجاد المشتقة الأولى لـ \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) وتمثيل كل من \( f \) و \( f' \) بيانيا من أجل \( x \in \mathbb{R} \).

رسوم بيان كل من \( \sin(x) \) و \( \arcsin(\sin(x)) \)

بما أن مجال \( f \) هو \( \mathbb{R} \) و \( \sin(x) \) دالة دورية، فإن \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) هي أيضاً دالة دورية.

مع تزايد \( x \) من \( 0 \) إلى \( \frac{\pi}{2} \)، تتزايد \( \sin(x) \) من \( 0 \) إلى \( 1 \) وتتزايد \( \arcsin(\sin(x)) \) من \( 0 \) إلى \( \frac{\pi}{2} \). في الواقع، من أجل \( x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \)، تكون \( \arcsin(\sin(x)) = x \). ومع تزايد \( x \) من \( \frac{\pi}{2} \) إلى \( \frac{3\pi}{2} \)، تتناقص \( \sin(x) \) من \( 1 \) إلى \( -1 \) وتتناقص \( \arcsin(\sin(x)) \) من \( \frac{\pi}{2} \) إلى \( -\frac{\pi}{2} \). ومع تزايد \( x \) من \( \frac{3\pi}{2} \) إلى \( 2\pi \)، تتزايد \( \sin(x) \) من \( -1 \) إلى \( 0 \) وتتزايد \( \arcsin(\sin(x)) \) من \( -\frac{\pi}{2} \) إلى \( 0 \).

بما أن \( \sin(x) \) لها دورة قدرها \( 2\pi \)، فإن \( \arcsin(\sin(x)) \) لها أيضاً دورة قدرها \( 2\pi \). يوضح الرسم البياني أدناه رسوم بيان كل من \( \arcsin(\sin(x)) \) و \( \sin(x) \) من \( 0 \) إلى \( 2\pi \).

Graph of sin(x) and arcsin(sin(x)) over one period

يوضح الرسم البياني أدناه رسوم بيان كل من \( \arcsin(\sin(x)) \) و \( \sin(x) \) على مدى 3 دورات.

Graph of sin(x) and arcsin(sin(x)) over 3 periods

مجال \( f \): \( (-\infty, +\infty) \)
مدى \( f \): \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)

مشتقة \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) ورسمها البياني

\( f(x) \) هي دالة مركبة ويتم حساب المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة على النحو التالي: لتكن \( u = \sin(x) \).

وبالتالي \( f(x) = \arcsin(u(x)) \).

طبق قاعدة السلسلة للتفاضل:

\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arcsin(u))}{du} = \cos(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \]

بالتعويض عن \( u = \sin(x) \):

\[ f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} \]

التبسيط:

صيغة المشتقة الأولى:
\[ f'(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sqrt{\cos^2(x)}} = \dfrac{\cos(x)}{|\cos(x)|} \]

يُظهر الشكل أدناه الدالة \( \arcsin(\sin(x)) \) باللون الأحمر ومشتقاتها باللون الأزرق. لاحظ أن المشتقة غير معرفة لقيم \( x \) التي تكون عندها \( \cos(x) = 0 \)، مما يعني عند \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)، حيث \( k \) عدد صحيح. وعند نفس هذه القيم لـ \( x \)، تمتلك الدالة \( \arcsin(\sin(x)) \) إما قيمة عظمى تساوي \( \frac{\pi}{2} \) أو قيمة صغرى تساوي \( -\frac{\pi}{2} \).

لاحظ أنه على الرغم من أن \( \arcsin(\sin(x)) \) متصلة لجميع قيم \( x \)، إلا أن مشتقاتها غير معرفة عند قيم معينة لـ \( x \).

Graph of derivative of arcsin(sin(x))

المزيد من المراجع والروابط