درس في التفاضل والتكامل حول كيفية إيجاد المشتقة الأولى لـ \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) وتمثيل كل من \( f \) و \( f' \) بيانيا في مجاله الطبيعي.
رسوم بيان كل من \( \tan(x) \) و \( \arctan(\tan(x)) \)
تكون \( f(x) \) معرفة لجميع القيمة \( x \in \mathbb{R} \) ما عدا \( x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \)، حيث \( k \) عدد صحيح.
بما أن \( \tan(x) \) دالة دورية، فإن \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) هي أيضاً دالة دورية.
مع تزايد \( x \) من \( -\frac{\pi}{2} \) إلى \( \frac{\pi}{2} \) (باستثناء الأطراف)، تتزايد \( \tan(x) \) من قيم صغرى جداً (\( -\infty \)) إلى قيم كبرى جداً (\( +\infty \))، وتتزايد \( \arctan(\tan(x)) \) من \( -\frac{\pi}{2} \) إلى \( \frac{\pi}{2} \) (باستثناء الأطراف)، نظراً لأن \( \tan(x) \) غير معرفة عند \( -\frac{\pi}{2} \) و \( \frac{\pi}{2} \). في الواقع، من أجل \( x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)، لدينا \( \arctan(\tan(x)) = x \).
بما أن \( \tan(x) \) لها دورة قدرها \( \pi \)، فإن \( \arctan(\tan(x)) \) لها أيضاً دورة قدرها \( \pi \). يوضح الرسم البياني أدناه رسوم بيان كل من \( \arctan(\tan(x)) \) و \( \tan(x) \) من \( -\frac{\pi}{2} \) إلى \( \frac{3\pi}{2} \).
مجال \( f \): \( \mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\} \)
مدى \( f \): \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)
يوضح الرسم البياني أدناه رسوم بيان \( \arctan(\tan(x)) \) على مدى ثلاث دورات.
مشتقة \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) ورسمها البياني
\( f(x) \) هي دالة مركبة، ويتم حساب المشتقة باستخدام قاعدة السلسلة على النحو التالي:
لتكن \( u = \tan(x) \)، ومن ثم \( f(x) = \arctan(u(x)) \).
طبق قاعدة السلسلة للتفاضل:
عوض عن \( u = \tan(x) \):
بما أن \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \):
يُظهر الشكل أدناه الدالة \( \arctan(\tan(x)) \) باللون الأحمر ومشتقاتها باللون الأزرق. لاحظ أن المشتقة غير معرفة لقيم \( x \) التي تكون عندها \( \cos(x) = 0 \)، أي عند \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)، حيث \( k \) عدد صحيح. كما أن الدالة \( f(x) \) نفسها غير معرفة عند نفس هذه النقاط.
