ما هو التفاضل الضمني؟

التفاضل الضمني هو تقنية تُستخدم لإجادة المشتقة dy/dx عندما تربط معادلة بين x و y ضمنياً، دون أن تكون y معزولة صراحةً في أحد الطرفين.

التفاضل الضمني – أمثلة خطوة بخطوة والحلول

يتم عرض أمثلة على التفاضل الضمني مع حلول تفصيلية.

شرح التفاضل الضمني

عندما تُعطى لنا الدالة \( y \) صراحةً بدلالة \( x \)، فإننا نستخدم قواعد وصيغ التفاضل لإيجاد المشتقة \( \dfrac{dy}{dx} \). كمثال، نحن نعرف كيفية إيجاد \( \dfrac{dy}{dx} \) إذا كانت \( y = 2x^3 - 2x + 1 \).

في حالات أخرى، ومع ذلك، بدلًا من دالة معطاة صراحةً، يُعطى لنا معادلة تتضمن حدوداً في \( y \) و \( x \) ويُطلب منا إيجاد \( \dfrac{dy}{dx} \). على سبيل المثال، تُعطى لنا معادلة تربط بين \( y \) و \( x \) كالتالي: \( xy + y^2 = 1 \) ويُطلب منا إيجاد \( \dfrac{dy}{dx} \).

الفكرة الأساسية للتفاضل الضمني هي تفاضل كلا طرفي المعادلة المعطاة بالنسبة لـ \( x \) ثم حل المعادلة الجديدة الناتجة لإيجاد \( \dfrac{dy}{dx} \).

أمثلة التفاضل الضمني

المثال 1

استخدم التفاضل الضمني لإيجاد المشتقة \( \dfrac{dy}{dx} \) حيث \( yx + \sin y = 1 \)

الحل للمثال 1

فاضل كلا طرفي المعادلة المعطاة واستخدم قاعدة الجمع في التفاضل:

\[ \dfrac{d}{dx}[xy] + \dfrac{d}{dx}[\sin y] = \dfrac{d}{dx}[1] \]

فاضل كل حد باستخدام قاعدة الضرب لـ \( \dfrac{d}{dx}[xy] \) وقاعدة السلسلة لـ \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \):

\[ x \dfrac{dy}{dx} + y + \dfrac{dy}{dx} \cos(y) = 0 \]

لاحظ أنه في حساب \( \dfrac{d}{dx}[\sin y] \)، استخدمنا قاعدة السلسلة نظراً لأن \( y \) بحد ذاته دالة في \( x \).

حل لـ \( \dfrac{dy}{dx} \):

\[ \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{y}{x + \cos y} \]

المثال 2

استخدم التفاضل الضمني لإيجاد المشتقة \( \dfrac{dy}{dx} \) حيث \( y^{4} + xy^{2} + x = 3 \)

الحل للمثال 2

استخدم صيغة تفاضل المجموع على الطرف الأيسر من المعادلة المعطاة:

\[ \dfrac{d[y^{4}]}{dx} + \dfrac{d[xy^{2}]}{dx} + \dfrac{d[x]}{dx} = \dfrac{d[3]}{dx} \]

فاضل كل حد باستخدام قاعدة القوة، قاعدة الضرب، وقاعدة السلسلة:

\[ 4y^{3} \dfrac{dy}{dx} + (1)y^{2} + x(2y \dfrac{dy}{dx}) + 1 = 0 \]

حل لـ \( \dfrac{dy}{dx} \):

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{-1 - y^{2}}{4y^{3} + 2xy} \]

المثال 3

أوجد جميع النقاط على بيان المعادلة:

\[ x^{2} + y^{2} = 4 \]

حيث تكون الخطوط المماسية متوازية للخط \( x + y = 2 \)

الحل للمثال 3

أعد كتابة الخط المعطى \( x + y = 2 \) بالصيغة الميل والمقطع: \( y = -x + 2 \)، وحدد الميل كـ \( m = -1 \). الخطوط المماسية متوازية لهذا الخط وبالتالي ميلها يساوي \( -1 \). يمكن العثور على ميل الخطوط المماسية عند نقطة ما عن طريق التفاضل الضمني لـ \( x^{2} + y^{2} = 4 \):

\[ 2x + 2y \dfrac{dy}{dx} = 0 \]

ليكن \( P(a, b) \) نقطة التماس. عند النقطة \( P \)، الميل هو \( -1 \). بالتعويض عن \( x \) بـ \( a \)، و \( y \) بـ \( b \)، و \( \dfrac{dy}{dx} \) بـ \( -1 \) في المعادلة أعلاه، نحصل على:

\[ 2a + 2b(-1) = 0 \implies 2a = 2b \implies a = b \]

النقطة \( P(a, b) \) تقع على بيان \( x^{2} + y^{2} = 4 \)، ومن ثم:

\[ a^{2} + b^{2} = 4 \]

عوض عن \( a = b \) في \( a^2 + b^2 = 4 \):

\[ 2a^2 = 4 \implies a^2 = 2 \implies a = \pm\sqrt{2} \]

وبذلك نحصل على نقطتين:

\[ (-\sqrt{2}, -\sqrt{2}) \quad \text{و} \quad (\sqrt{2}, \sqrt{2}) \]

التمارين

استخدم التفاضل الضمني لإيجاد \( \dfrac{dy}{dx} \) لكل معادلة معطاة أدناه:

\( xe^{y} = 3 \)
\( x^{2} + y^{2} = 20 \)
\( x \sin(xy) = x \)

حلول التمارين أعلاه

\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{1}{x} \)
\( \dfrac{dy}{dx} = -\dfrac{x}{y} \)
\( \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{1 - \sin(xy) - xy \cos(xy)}{x^{2} \cos(xy)} \)