قاعدة الضرب للتفاضل مع الأمثلة

البرهان من المبادئ الأولى، أمثلة محلولة خطوة بخطوة مع الحلول، التمارين، والمراجع

يتم تقديم خطوات إثبات قاعدة الضرب للتفاضل إلى جانب الأمثلة والتمارين والحلول.

مشتقة حاصل ضرب دالتين (البرهان)

تُعرف مشتقة \( f'(x) \) للدالة \( f(x) \) كالتالي:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h) - f(x)}{h} \qquad (1) \]

لتكن الدالة \( f(x) \) معطاة بحاصل ضرب دالتين \( u(x) \) و \( v(x) \)، مكتوبة كـ:

\[ f(x) = u(x)v(x) \]

باستخدام تعريف المشتقة في (1)، تُعطى مشتقة \( f(x) = u(x)v(x) \) كالتالي:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (2) \]

طرح وإضافة نفس الكمية (\( u(x)v(x+h) \)) في بسط (2) لا يغير قيمته:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x) - u(x)v(x+h) + u(x)v(x+h)}{h} \qquad (3) \]

تجزئة الكسر إلى جزأين:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left( \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \right) \qquad (4) \]

من خصائص النهايات، غاية المجموع تساوي مجموع الغايات:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h)v(x+h) - u(x)v(x+h)}{h} + \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x)v(x+h) - u(x)v(x)}{h} \qquad (5) \]

استخدام التحليل لعوامل لإعادة كتابة الحدود:

\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \left[ v(x+h) \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right] + \lim_{h \to 0} \left[ u(x) \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right] \qquad (6) \]

بما أن غاية حاصل الضرب هي حاصل ضرب الغايات:

\[ f'(x) = \left( \lim_{h \to 0} v(x+h) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{u(x+h) - u(x)}{h} \right) + \left( \lim_{h \to 0} u(x) \right) \left( \lim_{h \to 0} \dfrac{v(x+h) - v(x)}{h} \right) \qquad (7) \]

تقييم النهايات الفردية:

عوض عن هذه الغايات في (7) للحصول على:

\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]
صيغة قاعدة الضرب:
\[ (uv)' = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \qquad (I) \]

أمثلة مع الحلول

المثال 1

أوجد مشتقات:

أ) \( f(x) = x \ln(x) \)        ب) \( g(x) = \sin(x)e^x \)

الحل للمثال 1

أ) ليكن \( u(x) = x \) و \( v(x) = \ln x \). اكتب \( f(x) = u(x)v(x) \).

باستخدام صيغة قاعدة الضرب (I):

\[ f'(x) = u'(x)v(x) + u(x)v'(x) \]

بما أن \( u'(x) = 1 \) و \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \):

\[ f'(x) = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]

ب) ليكن \( w(x) = \sin(x) \) و \( z(x) = e^x \). اكتب \( g(x) = w(x)z(x) \).

باستخدام صيغة قاعدة الضرب (I):

\[ g'(x) = w'(x)z(x) + w(x)z'(x) \]

بما أن \( w'(x) = \cos(x) \) و \( z'(x) = e^x \):

\[ g'(x) = \cos(x)e^x + \sin(x)e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]

المثال 2

احسب مشتقة:

\[ h(x) = (2x + 3)\cos(x)\ln x \]
الحل للمثال 2

الدالة \( h(x) \) هي حاصل ضرب ثلاث دوال. ليكن \( u = 2x + 3 \) و \( v = \cos(x) \) و \( w = \ln x \)، إذن \( h(x) = u(x)v(x)w(x) \).

تطبيق قاعدة الضرب لثلاث دوال:

\[ h'(x) = u'(x)v(x)w(x) + u(x)v'(x)w(x) + u(x)v(x)w'(x) \]

احسب المشتقات الفردية:

\[ u'(x) = 2, \quad v'(x) = -\sin(x), \quad w'(x) = \dfrac{1}{x} \]

عوض بهذه التعبيرات في الصيغة:

\[ h'(x) = 2\cos(x)\ln x - (2x + 3)\sin(x)\ln x + \dfrac{(2x + 3)\cos(x)}{x} \]

التمارين

أوجد مشتقات الدوال:

  1. \( f(x) = (3x - 5)\cos(x) \)
  2. \( g(x) = (-4x + 3)e^x \)
  3. \( h(x) = x^3 \sin(x)e^x \)
حلول التمارين أعلاه
  1. \( f'(x) = 3\cos(x) - (3x - 5)\sin(x) \)
  2. \( g'(x) = -4e^x + (-4x + 3)e^x = (-4x - 1)e^x \)
  3. \( h'(x) = 3x^2\sin(x)e^x + x^3\cos(x)e^x + x^3\sin(x)e^x = 3x^2\sin(x)e^x + (\cos(x) + \sin(x))x^3e^x \)

المزيد من المراجع والروابط