قاعدة القسمة للتفاضل مع الأمثلة

البرهان من قاعدة الضرب، أمثلة محلولة خطوة بخطوة مع الحلول، التمارين، والمراجع

يتم تقديم خطوات إثبات قاعدة القسمة للتفاضل من قاعدة الضرب للتفاضل إلى جانب الأمثلة والتمارين والحلول.

مشتقة حاصل قسمة دالتين (البرهان)

لتكن الدالة \( f(x) \) معطاة بحاصل قسمة دالتين \( u(x) \) و \( v(x) \)، مكتوبة كـ:

\[ f(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \qquad (1) \]

اضرب كلا طرفي المعادلة أعلاه في \( v(x) \) وبسط:

\[ f(x)v(x) = u(x) \]

خذ مشتقة كلا الطرفين بالنسبة لـ \( x \):

\[ (f(x)v(x))' = u'(x) \]

طبق قاعدة الضرب للتفاضل على الطرف الأيسر:

\[ f'(x)v(x) + f(x)v'(x) = u'(x) \]

حل المعادلة من أجل \( f'(x) \):

\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - f(x)v'(x)}{v(x)} \]

عوض عن \( f(x) \) بـ \( \dfrac{u(x)}{v(x)} \) كما هو موضح في (1):

\[ f'(x) = \dfrac{u'(x) - \dfrac{u(x)}{v(x)}v'(x)}{v(x)} \]

أعد كتابة البسط بمقام مشترك وبسط:

\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \]
صيغة قاعدة القسمة:
\[ \left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (I) \]

أمثلة مع الحلول

المثال 1

أوجد مشتقات:

أ) \( f(x) = \dfrac{x}{\ln x} \)        ب) \( g(x) = \dfrac{\sin(x)}{\cos(x)} \)

الحل للمثال 1

أ) ليكن \( u(x) = x \) و \( v(x) = \ln x \). اكتب \( f(x) = \dfrac{u}{v} \).

باستخدام قاعدة القسمة (I):

\[ f'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (2) \]

بما أن \( u'(x) = 1 \) و \( v'(x) = \dfrac{1}{x} \):

\[ f'(x) = \dfrac{1 \cdot \ln x - x \cdot \dfrac{1}{x}}{(\ln x)^2} = \dfrac{\ln x - 1}{(\ln x)^2} \]

ب) ليكن \( w(x) = \sin x \) و \( z(x) = \cos x \). اكتب \( g(x) = \dfrac{w}{z} \).

باستخدام قاعدة القسمة (I):

\[ g'(x) = \dfrac{w'(x)z(x) - w(x)z'(x)}{(z(x))^2} \qquad (3) \]

بما أن \( w'(x) = \cos x \) و \( z'(x) = -\sin x \):

\[ g'(x) = \dfrac{\cos x \cos x - \sin x(-\sin x)}{(\cos x)^2} = \dfrac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \]

باستخدام المتطابقة \( \cos^2 x + \sin^2 x = 1 \):

\[ g'(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x \]

المثال 2

احسب مشتقة:

\[ h(x) = \dfrac{x \ln x}{\sin x \, e^x} \]
الحل للمثال 2

ليكن \( u(x) = x \ln x \) و \( v(x) = \sin x \, e^x \). اكتب \( h(x) = \dfrac{u(x)}{v(x)} \).

باستخدام قاعدة القسمة (I):

\[ h'(x) = \dfrac{u'(x)v(x) - u(x)v'(x)}{(v(x))^2} \qquad (4) \]

احسب \( u'(x) \) باستخدام قاعدة الضرب:

\[ u'(x) = (x)'\ln x + x(\ln x)' = 1 \cdot \ln x + x \cdot \dfrac{1}{x} = \ln x + 1 \]

احسب \( v'(x) \) باستخدام قاعدة الضرب:

\[ v'(x) = (\sin x)'e^x + \sin x(e^x)' = \cos x \, e^x + \sin x \, e^x = (\cos x + \sin x)e^x \]

عوض في (4):

\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)(\sin x \, e^x) - (x \ln x)((\cos x + \sin x)e^x)}{(\sin x \, e^x)^2} \]

أخرج عامل مشترك واختصر \( e^x \):

\[ h'(x) = \dfrac{(\ln x + 1)\sin x - x \ln x(\cos x + \sin x)}{\sin^2 x \, e^x} \]

التمارين

أوجد مشتقات الدوال:

  1. \( f(x) = \dfrac{\cos(x)}{\sin x} \)
  2. \( g(x) = \dfrac{-2x + 4}{e^x} \)
  3. \( h(x) = \dfrac{2x \, e^x}{x \sin x} \)
حلول التمارين أعلاه
  1. \( f'(x) = \dfrac{-\sin x \sin x - \cos x \cos x}{\sin^2 x} = \dfrac{-(\sin^2 x + \cos^2 x)}{\sin^2 x} = -\csc^2 x \)
  2. \( g'(x) = \dfrac{-2e^x - (-2x + 4)e^x}{(e^x)^2} = -\dfrac{2(-x + 3)}{e^x} \)
  3. \( h'(x) = \dfrac{(2(1 + x)e^x)(x \sin x) - (2x \, e^x)(\sin x + x \cos x)}{(x \sin x)^2} = 2(\csc x - \cot x \csc x)e^x \)

المزيد من المراجع والروابط