معادلة القطع الناقص في الإحداثيات القطبية
تُعطى معادلة القطع الناقص المركزية عند نقطة الأصل كالتالي:
\[ \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 \qquad (I) \]
التحويل من الإحداثيات الديكارتية إلى القطبية يُعطى بـ:
\[ x = r \cos \theta, \quad y = r \sin \theta \]
عوض بصيغ التحويل في المعادلة (I):
\[ \dfrac{r^2 \cos^2 \theta}{a^2} + \dfrac{r^2 \sin^2 \theta}{b^2} = 1 \]
اقسم جميع الحدود في المعادلة أعلاه على \( \cos^2 \theta \) وبسط:
\[ \dfrac{r^2}{a^2} + \dfrac{r^2 \tan^2 \theta}{b^2} = \sec^2 \theta \]
\[ r^2 \left( \dfrac{1}{a^2} + \dfrac{\tan^2 \theta}{b^2} \right) = \sec^2 \theta \]
\[ r^2 \left( \dfrac{b^2 + a^2 \tan^2 \theta}{a^2 b^2} \right) = \sec^2 \theta \]
حل من أجل \( r^2 \):
المعادلة القطبية للقطع الناقص:
\[ r^2 = \dfrac{a^2 b^2 \sec^2 \theta}{b^2 + a^2 \tan^2 \theta} \]
مساحة القطع الناقص في الإحداثيات القطبية
المساحة \( A \) في الإحداثيات القطبية المحاطة بمنحنى تُعطى بالصيغة:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} r(\theta)^2 \, d\theta \]
عوض عن \( r^2 \) للقطع الناقص المستخرج أعلاه في تكامل المساحة:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2 + a^2 \tan^2 \theta} \, d\theta \qquad (II) \]
استخدم طريقة التعويض المثلثي التي تحول \( a \tan \theta \) إلى \( b \tan \alpha \) بحيث يمكن تحليل المقام وحدوث تبسيطات إضافية:
\[ b \tan \alpha = a \tan \theta \qquad (III) \]
فاضل كلا الطرفين بالنسبة لـ \( \theta \)، باستخدام قاعدة السلسلة على الطرف الأيسر:
\[ b \sec^2 \alpha \dfrac{d\alpha}{d\theta} = a \sec^2 \theta \]
والتي تعطي:
\[ \sec^2 \theta \, d\theta = \dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha \, d\alpha \]
أو:
\[ d\theta = \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta} \, d\alpha \qquad (IV) \]
حدود التكامل:
من (III) أعلاه، يمكننا كتابة \( \alpha = \arctan \left( \dfrac{a}{b} \tan \theta \right) \).
- من أجل \( \theta = 0 \)، \( \alpha = 0 \)
- من أجل \( \theta = 2\pi \)، \( \alpha = 2\pi \)
عوض عن \( d\theta \) وحدود التكامل في التكامل:
\[ A = \dfrac{1}{2} \int_0^{2\pi} a^2 b^2 \dfrac{\sec^2 \theta}{b^2 + b^2 \tan^2 \alpha} \left( \dfrac{\dfrac{b}{a} \sec^2 \alpha}{\sec^2 \theta} \right) \, d\alpha \]
أخرج \( b^2 \) كعامل مشترك في المقام، وخذ جميع الثوابت خارج التكامل، وبسط:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \int_0^{2\pi} \dfrac{1}{1 + \tan^2 \alpha} \sec^2 \alpha \, d\alpha \]
استخدم المطابقة المثلثية \( 1 + \tan^2 \alpha = \sec^2 \alpha \) في المقام وبسط:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \int_0^{2\pi} d\alpha \]
احسب التكامل:
\[ A = \dfrac{ab}{2} \left[ \alpha \right]_0^{2\pi} \]
بسط للحصول على الصيغة النهائية لمساحة القطع الناقص:
صيغة مساحة القطع الناقص:
\[ A = \pi ab \]