كيف تقيم تكامل csc(x)؟

يتم تقييم التكامل غير المحدود لـ csc(x) عن طريق التعبير عنها كـ 1/sin(x)، باستخدام متطابقات نصف الزاوية، والتعويض، وتحليل الكسور الجزئية، مما ينتج عنه ln|tan(x/2)| + c.

تكامل csc(x) – الاشتقاق، الصيغة والأمثلة

الاشتقاق والتقييم

قيم التكامل:

\[ \int \csc x \, dx \]

ملاحظة: هناك عدة طرق لحساب التكامل أعلاه. تتيح الخطوات الموضحة أدناه مراجعة العديد من الأفكار في علم المثلثات وفي حساب التكاملات؛ كما أن النتيجة النهائية بسيطة للغاية.

استخدم \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \) لإعادة كتابة التكامل:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{\sin x} \, dx \]

يمكن كتابة \( \sin x \) باستخدام صيغة ضعف الزاوية كالتالي:

\[ \sin x = \sin\left(2 \cdot \dfrac{x}{2}\right) \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) للكتابة:

\[ \sin x = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \]

عوض عن ذلك في التكامل:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, dx \]

استخدم التكامل بالتعويض: ليكن \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \)، مما يعطي \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \) أو \( dx = \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \). بالتعويض في التكامل:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 u \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \cdot \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

بسط التعبير:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) للكتابة:

\[ \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - u^2 \]

عوض في التكامل:

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u(1 - u^2)} \, du \]

استخدم تحليل الكسور الجزئية لكتابة دالة التكامل على صورة:

\[ \dfrac{1}{u(1 - u^2)} = \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

عوض مرة أخرى في التكامل وقسمه:

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \int \left(\dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)}\right) du \\[6pt] &= \int \dfrac{1}{u} \, du - \int \dfrac{1}{2(u + 1)} \, du - \int \dfrac{1}{2(u - 1)} \, du \end{aligned} \]

استخدم صيغة التكامل \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln|u| - \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

اجمع التعبيرات اللوغاريتمية باستخدام خصائص اللوغاريتمات (\( \ln a - \ln b - \ln c = \ln\frac{a}{bc} \) و \( \frac{1}{2}\ln a = \ln\sqrt{a} \)):

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \ln|u| - \left(\dfrac{1}{2} \ln|u + 1| + \dfrac{1}{2} \ln|u - 1|\right) + c \\[6pt] &= \ln|u| - \ln\sqrt{|u + 1||u - 1|} + c \\[6pt] &= \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|u^2 - 1|}}\right) + c \end{aligned} \]

لاحظ أن \( |u^2 - 1| = |1 - u^2| \)، وبالتالي:

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|1 - u^2|}}\right) + c \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|1 - \left(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

بسط باستخدام \( \sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|} = \left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}\right) + c \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \) وخصائص القيمة المطلقة لكتابة الإجابة النهائية:

صيغة التكامل لـ \( \csc x \):

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left|\tan\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| + c \]

تكامل \( \csc x \)

الاشتقاق والتقييم

المزيد من المراجع والروابط