كيف تقيم تكامل sec(x)؟

يتم تقييم التكامل غير المحدود لـ sec(x) عن طريق ضرب البسط والمقام في cos(x)، واستخدام المتطابقات المثلثية، والتعويض، وتحليل الكسور الجزئية، مما ينتج عنه (1/2) ln |(sin x + 1) / (sin x - 1)| + c.

تكامل sec(x) – الاشتقاق، الصيغة والأمثلة

الاشتقاق والتقييم

قيم التكامل:

\[ \int \sec x \, dx \]

استخدم \( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \) لإعادة كتابة التكامل:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{\cos x} \, dx \]

اضرب كلا من بسط ومقام دالة التكامل في الطرف الأيمن في \( \cos x \):

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{\cos^2 x} \, dx \]

استخدم المتطابقة المثلثية \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) في المقام للكتابة:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x} \, dx \]

استخدم التكامل بالتعويض: ليكن \( u = \sin x \)، مما يعطي \( du = \cos x \, dx \). يمكن كتابة التكامل على صورة:

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{1 - u^2} \, du \]

استخدم تحليل الكسور الجزئية لكتابة دالة التكامل على صورة:

\[ \dfrac{1}{1 - u^2} = \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

عوض بذلك في التكامل:

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u + 1} \, du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u - 1} \, du \]

استخدم صيغة التكامل \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \) للحصول على:

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

اجمع التعبيرات اللوغاريتمية باستخدام الخاصية \( \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \):

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln\left(\dfrac{|u + 1|}{|u - 1|}\right) + c \]

عوض مرة أخرى بـ \( u = \sin x \):

صيغة التكامل لـ \( \sec x \):

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln \left| \dfrac{\sin x + 1}{\sin x - 1} \right| + c \]

تكامل \( \sec x \)

الاشتقاق والتقييم

المزيد من المراجع والروابط