حجم قبة الكرة

الاشتقاق، الصيغة، والتطبيقات باستخدام التفاضل والتكامل والتكاملات المحدودة

يتم إيجاد حجم قبة الكرة باستخدام التكاملات وطريقة الأقراص المستخدمة في "حجم جسم دوراني".

تُعرف قبة الكرة بأنها جزء من كرة مقطوعة بواسطة مستوى.

قبة الكرة كجزء من كرة

اشتقاق صيغة حجم قبة الكرة

اعتبر قبة كروية من كرة نصف قطرها \( R \) وارتفاعها \( h \). يمكن توليد قبة كروية عن طريق دوران منحنى \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \)، الذي يمثل نصف دائرة، حول محور السينات حيث \( x \) في المدى \( R - h \le x \le R \).

قبة الكرة في ثنائي الأبعاد

اعتبر قرصًا صغيرًا (يظهر بخطوط متقطعة) له عرض \( dx \) ونصف قطر يساوي \( y \). يُعطى حجم القرص بواسطة \( \pi y^2 \, dx \)، وبالتالي فإن التكامل بالنسبة لـ \( x \) في المدى \( [R - h, R] \) يعطي الحجم الإجمالي للقبة:

\[ \text{Volume} = \int_{R-h}^{R} \pi y^2 \, dx \]

بما أن \( y = \sqrt{R^2 - x^2} \)، يصبح تكامل الحجم:

\[ \text{Volume} = \pi \int_{R-h}^{R} (R^2 - x^2) \, dx \]

تقييم التكامل:

\[ \text{Volume} = \pi \left[ R^2 x - \dfrac{1}{3}x^3 \right]_{R-h}^{R} \]

عوض بالحدود العليا والسفلى:

\[ \text{Volume} = \pi \left\{ \left( R^3 - \dfrac{1}{3}R^3 \right) - \left( R^2(R - h) - \dfrac{1}{3}(R - h)^3 \right) \right\} \]

تبسيط التعبير الجبري أعلاه ينتج عنه الصيغة النهائية للحجم:

\[ \Large \displaystyle \color{red}{\text{Volume} = \dfrac{\pi}{3}(3Rh^2 - h^3)} \]

المزيد من الروابط والمراجع