كيف تجد المساحة بين منحنيين باستخدام التكاملات؟

يتم إيجاد المساحة بين منحنيين عن طريق تكامل الفرق بين المنحنى العلوي والمنحنى السفلي (أو المنحنى الأيمن ناقص المنحنى الأيسر بالنسبة لـ y) بين نقاط تقاطعهما: المساحة = التكامل من x1 إلى x2 لـ [f(x) - h(x)] dx.

المساحة بين المنحنيات – الصيغ، الأمثلة والحلول

أوجد المساحة بين المنحنيات باستخدام التكاملات المحددة. يتم تقديم دروس تعليمية حول تطبيقات التكاملات لحساب المساحات بين المنحنيات، مع أمثلة و حلول مفصلة. هذا الدرس هو استمرار للدرس الخاص بـ المساحة تحت المنحنى. يبدأ من الأمثلة الواضحة إلى الأمثلة الأكثر تحدياً، والتي يجب إتقانها لفهم شامل لتبيقات التكامل.

صيغ المساحات بين المنحنيات

يمكننا إيجاد المساحة بين منحنيين عن طريق طرح المساحة المقابلة للمنحنى السفلي من مساحة المنحنى العلوي كالتالي:

1) إذا كان \( f \) و \( h \) دالتين في \( x \) بحيث \( f(x) \ge h(x) \) لكل \( x \) في الفترة \( [x_1, x_2] \)، فإن المساحة الموضحة أدناه (باللون الأزرق) تُعطى بـ:

\[ \text{Area} = \int_{x_1}^{x_2} \left(f(x) - h(x)\right) dx \quad (1) \]

finite area between two curves defined as functions of x — **الشكل 1.** المساحة المحدودة بين منحنيين معرفين كدوال لـ \( x \)

2) إذا كان \( Z \) و \( X \) دالتين في \( y \) بحيث \( Z(y) \ge X(y) \) لكل \( y \) في الفترة \( [y_1, y_2] \)، فإن المساحة الموضحة أدناه (باللون الأزرق) تُعطى بـ:

\[ \text{Area} = \int_{y_1}^{y_2} \left(Z(y) - X(y)\right) dy \quad (2) \]

finite area between two curves defined as functions of y — **الشكل 2.** المساحة المحدودة بين منحنيين معرفين كدوال لـ \( y \)

أمثلة مع حلول تفصيلية

المثال 1

أوجد مساحة المنطقة المحصور بين المنحنيين المعرفين بالمعادلتين \( y = x^2 - 2x + 2 \) و \( y = -x^2 + 6 \).

الحل للمثال 1

نقوم أولاً برسم المعادلتين ودراسة المنطقة المحصورة بين المنحنيين.

area between curves, example 1 — **الشكل 3.** مثال 1 على المساحة بين المنحنيات.

المنطقة المراد إيجاد مساحتها محاطة من الأعلى بالمنحنى \( y = -x^2 + 6 \) ومن الأسفل بالمنحنى \( y = x^2 - 2x + 2 \). النقطتان الطرفيتان اليسرى واليمنى للممنطقة هما نقطتا تقاطع المنحنيين، وتُوجدان بحل نظام المعادلات:

\[ \begin{cases} y = x^2 - 2x + 2 \\ y = -x^2 + 6 \end{cases} \]

عوض عن \( y \) للحصول على معادلة واحدة بمتغير واحد:

\[ x^2 - 2x + 2 = -x^2 + 6 \]

أعد الكتابة بالصيغة القياسية:

\[ 2x^2 - 2x - 4 = 0 \implies 2(x + 1)(x - 2) = 0 \]

مما يعطي الحلول:

\[ x = -1 \quad \text{و} \quad x = 2 \]

بين نقطتي التقاطع، \( -x^2 + 6 \ge x^2 - 2x + 2 \). ليكن \( f(x) = -x^2 + 6 \) و \( h(x) = x^2 - 2x + 2 \)، وطبق الصيغة (1):

\[ \begin{aligned} A &= \int_{-1}^{2} \big(f(x) - h(x)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big((-x^2 + 6) - (x^2 - 2x + 2)\big)\, dx \\ &= \int_{-1}^{2} \big(-2x^2 + 2x + 4\big)\, dx \\ &= \Big[-\tfrac{2}{3}x^3 + x^2 + 4x\Big]_{-1}^{2} = 9 \end{aligned} \]

الخلاصة: مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيين تساوي \( 9 \).

المثال 2

أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات المعرفة بالمعادلات \( y = \sqrt{x + 2} \) و \( y = x \) و \( y = 0 \).

الحل للمثال 2

ندرس المنطقة باستخدام طريقتين.

area between curves, example 2 — **الشكل 4.** مثال 2 على المساحة بين المنحنيات.

الطريقة 1: التكامل بالنسبة لـ \( x \)

المنطقة من \( x = -2 \) إلى \( x = 0 \) تقع تحت المنحنى \( y = \sqrt{x + 2} \)، لذا فإن مساحتها \( A_1 \) هي:

\[ \begin{aligned} A_1 &= \int_{-2}^{0} \sqrt{x + 2}\, dx = \left[ \frac{2}{3} (x + 2)^{3/2} \right]_{-2}^{0} = \frac{2}{3} (2^{3/2}) \end{aligned} \]

المنطقة من \( x = 0 \) إلى نقطة التقاطع لـ \( y = \sqrt{x + 2} \) و \( y = x \):

\[ \sqrt{x + 2} = x \implies x + 2 = x^2 \implies x^2 - x - 2 = 0 \implies x = 2 \]

المساحة \( A_2 \) من \( x = 0 \) إلى \( x = 2 \) هي:

\[ \begin{aligned} A_2 &= \int_{0}^{2} \big(\sqrt{x + 2} - x\big)\, dx = \left[ \frac{2}{3}(x + 2)^{3/2} - \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{2} = \frac{2}{3}(4)^{3/2} - 2 - \frac{2}{3}(2)^{3/2} \end{aligned} \]

المساحة الإجمالية:

\[ A_1 + A_2 = \dfrac{10}{3} \; \text{وحدة}^2 \]

الطريقة 2: التكامل بالنسبة لـ \( y \)

عبر عن \( x \) بدلالة \( y \): المنحنى الأيمن هو \( x = y \)، والمنحنى الأيسر هو \( x = y^2 - 2 \). حدود \( y \) تمتد من \( y = 0 \) إلى \( y = 2 \):

\[ \begin{aligned} \text{Area} &= \int_{0}^{2} \big( y - (y^2 - 2) \big)\, dy = \int_{0}^{2} \left( -y^2 + y + 2 \right)\, dy \\ &= \left[ -\frac{y^3}{3} + \frac{y^2}{2} + 2y \right]_{0}^{2} = \frac{10}{3} \; \text{وحدة}^2 \end{aligned} \]

لاحظ أن الطريقة الثانية أسرع بكثير.

المثال 3

أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين المنحنيات \( y = \sin(x) \)، \( y = \cos(x) \)، \( x = 0 \)، و \( x = 2\pi \).

الحل للمثال 3

area between curves sin(x), cos(x), example 3 — **الشكل 5.** مثال 3 على المساحة بين المنحنيات.

أوجد نقاط التقاطع حيث \( \sin(x) = \cos(x) \implies \tan(x) = 1 \). بين \( 0 \) و \( 2\pi \)، الحلان هما \( x = \pi/4 \) و \( x = 5\pi/4 \).

نقسم المنطقة إلى 3 مناطق:

المنطقة 1 (\( 0 \) إلى \( \pi/4 \)): \( \cos x \ge \sin x \)
\[ A_1 = \int_{0}^{\pi/4} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} - 1 \]
المنطقة 2 (\( \pi/4 \) إلى \( 5\pi/4 \)): \( \sin x \ge \cos x \)
\[ A_2 = \int_{\pi/4}^{5\pi/4} (\sin x - \cos x)\, dx = 2\sqrt{2} \]
المنطقة 3 (\( 5\pi/4 \) إلى \( 2\pi \)): \( \cos x \ge \sin x \)
\[ A_3 = \int_{5\pi/4}^{2\pi} (\cos x - \sin x)\, dx = \sqrt{2} + 1 \]

المساحة الكلية \( A = A_1 + A_2 + A_3 = 4\sqrt{2} \; \text{وحدة}^2 \).

المثال 4

في الرسم أدناه المنحنيان \( y = 3x - x^2 \) و \( y = 0.5x \). أوجد نسبة مساحة المنطقة A إلى مساحة المنطقة B.

find ratio of areas between curves , example 4 — **الشكل 6.** مثال 4 على المساحة بين المنحنيات.

الحل للمثال 4

أوجد تقاطع \( y = 3x - x^2 \) و \( y = 0.5x \):

\[ 3x - x^2 = 0.5x \implies 2.5x - x^2 = 0 \implies x(2.5 - x) = 0 \implies x = 0, \; x = 2.5 \]

مساحة المنطقة A:

\[ A = \int_{0}^{2.5} (3x - x^2 - 0.5x)\, dx = \int_{0}^{2.5} (2.5x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{2.5x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{2.5} = \dfrac{125}{48} \; \text{وحدة}^2 \]

المساحة الكلية تحت المنحنى \( y = 3x - x^2 \) من \( x = 0 \) إلى \( x = 3 \):

\[ A_t = \int_{0}^{3} (3x - x^2)\, dx = \Big[\tfrac{3x^2}{2} - \tfrac{x^3}{3}\Big]_{0}^{3} = \dfrac{9}{2} \; \text{وحدة}^2 \]

مساحة المنطقة B هي \( B = A_t - A \). النسبة \( r = \dfrac{A}{B} = \dfrac{A}{A_t - A} = \dfrac{125/48}{9/2 - 125/48} = \dfrac{125}{91} \).

المثال 5

أوجد مساحة المنطقة المتقاطعة للدايرتين اللتين معادلتاهما: \( x^2 + y^2 = 4 \) و \( x^2 + (y - 2)^2 = 1 \).

الحل للمثال 5

area between enclosed by overlapping circles, example 5 — **الشكل 7.** المساحة بين دائرتين متقاطعتين، مثال 5.

افتح معادلة الدائرة الثانية: \( x^2 + y^2 - 4y + 4 = 1 \). طرحها من \( x^2 + y^2 = 4 \) يعطي \( y = 7/4 \). التعويض في \( x^2 + y^2 = 4 \) يعطي \( x = \pm\sqrt{15}/4 \).

المنحنى العلوي هو \( y = \sqrt{4 - x^2} \) والمنحنى السفلي هو \( y = 2 - \sqrt{1 - x^2} \). بالتناظر، نصف المساحة \( A' \) من \( x = 0 \) إلى \( x = \sqrt{15}/4 \) هي:

\[ A' = \int_{0}^{\sqrt{15}/4} \left(\sqrt{4 - x^2} - 2 + \sqrt{1 - x^2}\right) dx \approx 0.70153 \]

مساحة التقاطع الكلية \( A = 2A' \approx 1.4 \; \text{وحدة}^2 \).

التمارين

أوجد مساحة المنطقة المحصورة بين \( y = (x - 1)^2 + 3 \) و \( y = 7 \).
أوجد مساحة المنطقة المحدودة بـ \( x = 0 \) على اليسار، \( x = 2 \) على اليمين، \( y = x^3 \) من الأعلى، و \( y = -1 \) من الأسفل.
أوجد المساحة المحصورة بين المنحنيات \( y = \dfrac{1}{x^2} \)، \( y = x \)، و \( y = 3 \).

حلول التمارين أعلاه

\( \dfrac{32}{3} \)
\( 6 \)
\( 2(3 - \sqrt{3}) \)