مستكشف كثير الحدود التفاعلي
استكشف دالة كثير الحدود من الدرجة الثالثة:
\[
f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c
\]
f(x) - دالة الدرجة الثالثة
f'(x) - المشتقة الأولى
خط المماس عند النقطة المحددة
القيمة الحالية لـ x:
-6.00
f(x) =
-131.00
f'(x) =
91.00
المميز D =
28.00
أنشطة التعلم ودليل الاستكشاف
- الاستكشاف الأساسي: انقر على "تحديث الرسم البياني". لاحظ المنحنى الأزرق (f(x))، والمنحنى الأحمر (f'(x))، وخط المماس الأسود. قم بتغيير قيم a، b، c لمعرفة كيف تتحول الرسوم البيانية.
- القيم القصوى المحلية: استخدم شريط التمرير لوضع خط المماس عند نقاط القمم العظمى أو الصغرى المحلية. لاحظ كيف يقترب الميل من الصفر. ما هي قيمة f'(x) عند هذه النقاط؟
- تأثيرات المعاملات: جرب مجموعات مختلفة من a، b، c. سجل مكان حدوث القيم القصوى المحلية وقيم المشتقة المقابلة لها.
- الحد الثابت: قم بتغيير المعامل c فقط. هل يؤثر على المشتقة أو ميل المماس؟ لماذا أو لماذا لا؟
- تحليل المشتقة الأولى: المشتقة هي:
\[ f'(x) = 3x^2 + 2ax + b \]تحدث النقاط الحرجة عندما يكون \(f'(x) = 0\).
- تحقيق المميز: المميز \(D = 4a^2 - 12b\) يحدد طبيعة النقاط الحرجة:
- D > 0: جذران حقيقيان (جرب a=2, b=0)
- D = 0: جذر حقيقي واحد (جرب a=0, b=0)
- D < 0: لا توجد جذور حقيقية (جرب a=1, b=2)
- المميز الموجب: اضبط D > 0. حدد كلا النقطتين حيث f'(x)=0. انقُل المماس إلى هاتين الموضعين. هل إحداهما عظمى والأخرى صغرى؟
- المميز الصفر: اضبط D = 0. يلامس المشتق محور السينات مرة واحدة. هل لدى f(x) قيمة قصوى محلية هنا؟
- المميز السالب: اضبط D < 0. هل توجد أي مماسات أفقية؟ هل لدى f(x) قيم قصوى محلية؟
- تحليل الإشارة: عندما يكون D > 0، لاحظ:
- إشارة f'(x) عندما تكون f(x) متزايدة
- إشارة f'(x) عندما تكون f(x) متناقصة
- أين يحدث تغيير الإشارة؟
- استكشاف متقدم: جرب بحرية حتى تفهم العلاقات بين سلوك الدالة، إشارة المشتقة، وميل المماس.
مفاهيم حساب التفاضل والتكامل الأساسية المُوضحة
\[
\text{Slope of tangent line} = f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\]
النقاط الحرجة والقيم القصوى
تحدث القمم العظمى/الصغرى المحلية حيث f'(x) = 0، بشرط أن تتغير إشارة f'(x) عند تلك النقطة.
اختبار المشتقة الأولى
- إذا تغيرت إشارة f'(x) من الموجب إلى السالب عند x₀، فإن لـ f قيمة عظمى محلية عند x₀.
- إذا تغيرت إشارة f'(x) من السالب إلى الموجب عند x₀، فإن لـ f قيمة صغرى محلية عند x₀.
- إذا لم تتغير إشارة f'(x)، فإن x₀ ليست قيمة عظمى ولا صغرى.