مستكشف دالة الجيب التفاعلي
استكشف دالة الجيب العامة:
\[
f(x) = a \cdot \sin(b \cdot x)
\]
حيث:
- a = السعة (تتحكم في ارتفاع الموجة)
- b = التردد (يتحكم في عدد الدورات التي تحدث في \(2\pi\))
المشتقة الأولى (باستخدام قاعدة السلسلة) هي:
\[
f'(x) = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x)
\]
(السعة)
(التردد)
\(f(x) = a\cdot\sin(b\cdot x)\) - دالة الجيب
\(f'(x) = a\cdot b\cdot\cos(b\cdot x)\) - المشتقة الأولى (جيب التمام)
خط المماس عند النقطة المحددة
القيمة الحالية لـ x (بالتقدير الدائري):
-6.28
\(f(x) = a\cdot\sin(b\cdot x) =\)
0.00
\(f'(x) = a\cdot b\cdot\cos(b\cdot x) =\)
1.00
ميل المماس:
1.00
أنشطة التعلم ودليل الاستكشاف
- الاستكشاف الأساسي: انقر على "تحديث الرسم البياني". لاحظ منحنى الجيب الأزرق (\(f(x)\))، ومنحنى جيب التمام الأحمر (\(f'(x)\))، وخط المماس الأسود. قم بتغيير قيم \(a\) و \(b\) لمعرفة كيف تتحول الرسوم البيانية.
- القيم القصوى المحلية: استخدم شريط التمرير لوضع خط المماس عند نقاط القمم العظمى أو الصغرى المحلية لدالة الجيب. لاحظ أن الميل يساوي صفراً عند هذه النقاط. ما هي قيمة \(f'(x)\) عند هذه النقاط؟
- فترات التزايد والتناقص:
- ابدأ من القيمة الصغرى وانتقل إلى القيمة العظمى التالية. الدالة متزايدة. ما هي إشارة \(f'(x)\) في هذه الفترة؟
- ابدأ من القيمة العظمى وانتقل إلى القيمة الصغرى التالية. الدالة متناقصة. ما هي إشارة \(f'(x)\) في هذه الفترة؟
- تأثير السعة (المعامل a): قم بتغيير المعامل \(a\) فقط. كيف يؤثر على كل من \(f(x)\) و \(f'(x)\)؟ جرب \(a = 0.5\)، \(a = 1\)، \(a = 2\). ماذا يحدث للميل الأقصى؟
- تأثير التردد (المعامل b): قم بتغيير المعامل \(b\) فقط. جرب \(b = 1\)، \(b = 2\)، \(b = 3\)، \(b = 4\). كيف يؤثر على:
- عدد الدورات في النطاق المعروض؟
- القيمة القصوى للمشتقة؟
- ميل خط المماس عند النقاط المشابهة؟
- نقاط الميل الصفري: ابحث عن النقاط التي يكون فيها خط المماس أفقياً. تحدث هذه النقاط عندما \(f'(x) = 0\). بالنسبة للقيم الافتراضية (\(a=1\)، \(b=1\))، يحدث هذا عند \(x = \pi/2, 3\pi/2\)، وما إلى ذلك. ما هي قيمة \(f(x)\) عند هذه النقاط؟
- نقاط الميل الأقصى: ابحث عن النقاط التي يكون فيها خط المماس في أكثر حالاته انحداراً (أقصى ميل مطلق). تحدث هذه النقاط عندما تكون \(|f'(x)|\) في أقصى حالاتها. بالنسبة للقيم الافتراضية، يحدث هذا عند \(x = 0, \pi, 2\pi\)، وما إلى ذلك. ما هي قيمة \(f(x)\) عند هذه النقاط؟
- تحقيق الفترة الزمنية (الدورة): فترة الدالة \(f(x) = a\cdot\sin(b\cdot x)\) هي \(2\pi/b\). تحقق من ذلك عن طريق عد الدورات الكاملة بين \(x = -2\pi\) و \(x = 2\pi\) لقيم \(b\) المختلفة.
- تصور قاعدة السلسلة: ملاحظة أن \(f'(x) = a\cdot b\cdot\cos(b\cdot x)\). يظهر العامل '\(b\)' في المشتقة بسبب قاعدة السلسلة. كيف يؤثر تغيير \(b\) على سعة المشتقة؟
- الإزاحة الطورية: اضبط \(a = 1\)، \(b = 1\) وراقب أين تكون \(f(x) = 0\). الآن اضبط \(b = 2\). أين تصبح \(f(x) = 0\) الآن؟ كيف يؤثر التردد على أصفار الدالة؟
- استكشاف متقدم: جرب القيم السالبة لـ \(a\) و/أو \(b\). ماذا يحدث؟ هل يمكنك التنبؤ بالسلوك قبل تغيير القيم؟
مفاهيم حساب التفاضل والتكامل الأساسية المُوضحة
\[
\text{Slope of tangent line} = f'(x_0) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}
\]
مشتقة دالة الجيب
باستخدام قاعدة السلسلة:
\[
\frac{d}{dx}[a \cdot \sin(b \cdot x)] = a \cdot b \cdot \cos(b \cdot x)
\]
النقاط الحرجة والقيم القصوى
بالنسبة لـ \(f(x) = a\cdot\sin(b\cdot x)\):
- القيم العظمى المحلية تحدث عندما \(\sin(b\cdot x) = 1 \implies b\cdot x = \frac{\pi}{2} + 2\pi n\)
- القيم الصغرى المحلية تحدث عندما \(\sin(b\cdot x) = -1 \implies b\cdot x = \frac{3\pi}{2} + 2\pi n\)
- عند هذه النقاط، \(f'(x) = a\cdot b\cdot\cos(b\cdot x) = 0\)
اختبار المشتقة الأولى
- إذا تغيرت إشارة \(f'(x)\) من الموجب إلى السالب عند \(x_0\)، فإن لـ \(f\) قيمة عظمى محلية عند \(x_0\).
- إذا تغيرت إشارة \(f'(x)\) من السالب إلى الموجب عند \(x_0\)، فإن لـ \(f\) قيمة صغرى محلية عند \(x_0\).
- بالنسبة لدوال الجيب، يتكرر هذا النمط بشكل دوري.
الدورية
كل من \(f(x)\) و \(f'(x)\) دالتان دوريتان:
\[
\text{Period of } f(x) = \frac{2\pi}{|b|}, \quad \text{Period of } f'(x) = \frac{2\pi}{|b|}
\]