What is the derivative of cos(x)?

The derivative of cos(x) with respect to x is -sin(x), proven using the limit definition of the derivative and trigonometric angle sum identities.

How do you find the derivative of cos(u(x)) using the chain rule?

Using the chain rule, the derivative of cos(u(x)) is -sin(u(x)) * u'(x).

نستخدم تعريف المشتقة لبرهان صيغة مشتقة $ \cos(x) $. كما يتم عرض مشتقة الدالة المركبة $ \cos(u(x)) $ باستخدام قاعدة السلسلة، مع تقديم أمثلة محلولة.

تعريف مشتقة الدالة $ f $ هو:

f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x+h) - f(x)}{h}

لنفرض أن $ f(x) = \cos x $. إذن:

f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos(x+h) - \cos x}{h}

باستخدام المتطابقة المثلثية:

\cos(x+h) = \cos x \cos h - \sin x \sin h

نحصل على:

f'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\cos x(\cos h - 1) - \sin x \sin h}{h}

نفصل النهايات:

f'(x) = \cos x \lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} - \sin x \lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h}

باستخدام النتايج القياسية:

\lim_{h\to 0} \frac{\sin h}{h} = 1

\lim_{h\to 0} \frac{\cos h - 1}{h} = 0

نحصل على:

f'(x) = \cos x(0) - \sin x(1) = -\sin x

الصيغة:

\frac{d}{dx} \cos x = -\sin x

تُظهر الرسوم البيانية أدناه الدالة $ \cos x $ ومشتقتها. القيم العظمى والصغرى للدالة $ \cos x $ توافق أصفار مشتقتها.

\frac{d}{dx}\cos(u(x)) = \frac{d}{du}(\cos u) \cdot \frac{du}{dx}

= -\sin u \cdot \frac{du}{dx}

صيغة قاعدة السلسلة:

\frac{d}{dx}\cos(u(x)) = -\sin(u(x))\,u'(x)

أمثلة محلولة: اشتقاق دوال جيب التمام المركبة

أوجد المشتقات:

الحلول:

لتكن $ u = 2x + 2 $، إذن $ u' = 2 $.
$f'(x) = -2\sin(2x + 2)$
لتكن $ u = \tan x $، إذن $ u' = \sec^2 x $.
$g'(x) = -\sin(\tan x)\sec^2 x$
لتكن $ u = \frac{x^2}{x^2+1} $. باستخدام قاعدة القسمة:
$u' = \frac{2x(x^2+1) - x^2(2x)}{(x^2+1)^2} = \frac{2x}{(x^2+1)^2}$ $h'(x) = -\frac{2x}{(x^2+1)^2} \sin\!\left(\frac{x^2}{x^2+1}\right)$