حساب نهايات الدوال المثلثية

الأمثلة، الحلول التفصيلية خطوة بخطوة، وتمارين التدريب

يتم عرض العديد من الأمثلة المتعلقة بنهايات الدوال المثلثية مع حلول تفصيلية وتمارين مع إجابات.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

الأمثلة والحلول

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} \]
عرض حل المثال 1

دعنا نضرب البسط والمقام في \( 1 + \cos x \) ونكتب:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} \cdot \dfrac{1 + \cos x}{1 + \cos x} \]

يصبح البسط مساوياً لـ \( 1 - \cos^2 x = \sin^2 x \)، ومن ثم:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^2 x}{x} \cdot \dfrac{1}{1 + \cos x} \]

يمكن كتابة النهاية على النحو التالي:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \cdot \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{1 + \cos x} \right) = (1) \left(\dfrac{0}{2}\right) = 0 \]

لقد استخدمنا النظرية: \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \).

المثال 2

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} \]
عرض حل المثال 2

لتكن \( t = 4x \). عندما تقترب \( x \) من 0، تقتربح \( t \) من 0، بحيث:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \]

نستخدم الآن النظرية \( \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \) لإيجاد النهاية:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{4x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} = 1 \]

المثال 3

أوجد النهاية:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6x}{5x} \]
عرض حل المثال 3

لتكن \( t = 6x \)، أو \( x = t / 6 \). عندما تقترب \( x \) من 0، تقترب \( t \) من 0، بحيث:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin 6x}{5x} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{5t/6} \] \[ = \lim_{t \to 0} \left(\dfrac{6}{5}\right) \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \] \[ = \left(\dfrac{6}{5}\right) \cdot 1 = \dfrac{6}{5} \]

المثال 4

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 + 7x + 12} \]
عرض حل المثال 4

إذا طبقنا نظرية نهاية حاصل قسمة دالتين، سنحصل على الصيغة غير المعيينية \( \dfrac{0}{0} \). نحتاج إلى إيجاد طريقة أخرى. بالنسبة لـ \( x = -3 \)، المقام يساوي صفراً وبالتالي يمكن تحليله، ومن ثم:

\[ \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{x^2 + 7x + 12} = \lim_{x \to -3} \dfrac{\sin (x + 3)}{(x + 3)(x + 4)} \]

لتكن \( t = x + 3 \)، أو \( x = t - 3 \). عندما تقترب \( x \) من \( -3 \)، تقترب \( t \) من 0:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t(t + 1)} \]

نطبق الآن نظرية نهاية حاصل ضرب دالتين:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t}{t} \cdot \lim_{t \to 0} \dfrac{1}{t + 1} \] \[ = 1 \cdot 1 = 1 \]

المثال 5

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \]
عرض حل المثال 5

سنوجد النهاية عندما تقترب \( x \) من 0 من اليسار وعندما تقترب \( x \) من 0 من اليمين. بالنسبة لـ \( x < 0 \)، \( |x| = -x \):

\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin(-x)}{x} = -\lim_{x \to 0^-} \dfrac{\sin x}{x} = -1 \]

بالنسبة لـ \( x > 0 \)، \( |x| = x \):

\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin|x|}{x} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \]

نهايتا اليسار واليمين لهما قيمتان مختلفتان، لذلك فإن النهاية السابقة غير موجودة:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin|x|}{x} \quad \text{غير موجودة} \]

المثال 6

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} \]
عرض حل المثال 6

نستخدم أولاً المتطابقة المثلثية \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \):

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\tan x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\dfrac{\sin x}{\cos x}} = \lim_{x \to 0} \dfrac{x \cos x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos x}{\dfrac{\sin x}{x}} \]

نستخدم الآن نظرية نهاية القسمة:

\[ = \dfrac{\lim_{x \to 0} \cos x}{\lim_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin x}{x}\right)} = \dfrac{1}{1} = 1 \]

المثال 7

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 0} x \csc x \]
عرض حل المثال 7

نستخدم أولاً المتطابقة المثلثية \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \):

\[ \lim_{x \to 0} x \csc x = \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{\sin x} = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{\dfrac{\sin x}{x}} \]

تُستخدم نهاية القسمة:

\[ = \dfrac{1}{1} = 1 \]

التمارين

احسب النهايات التالية. انقر فوق كل تمرين للتحقق من إجاباتك.

التمرين 1

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 3x}{\sin 8x} \)

عرض الإجابة
\[ \dfrac{3}{8} \]

التمرين 2

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan 3x}{x} \)

عرض الإجابة
\[ 3 \]

التمرين 3

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \sqrt{x} \, \csc (4 \sqrt{x}) \)

عرض الإجابة
\[ \dfrac{1}{4} \]

التمرين 4

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin^3 3x}{x \sin(x^2)} \)

عرض الإجابة
\[ 27 \]

المزيد من المراجع والروابط