تعرض هذه الصفحة مشتقة دالة اللوغاريتم الطبيعي \( \ln(x) \) باستخدام تعريف المشتقة. كما نغطي مشتقة الدوال المركبة من الشكل \( \ln(u(x)) \) ونقدم أمثلة مفصلة.
برهان مشتقة \( \ln(x) \) باستخدام التعريف
تُعرّف مشتقة الدالة \( f \) كالتالي:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]
لنفرض أن \( f(x) = \ln(x) \). إذن:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h} \]
باستخدام خاصية الأسس للوغاريتمات، نكتب:
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} \]
نعوض بـ \( y = \dfrac{h}{x} \)، إذن \( h = yx \) و \( \lim_{h \to 0} y = 0 \). إذن:
\[ f'(x) = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{x} \ln\left(1+y\right)^{\dfrac{1}{y}} = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \dfrac{1}{x} \]
الصيغة:
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \]
مشتقة الدالة المركبة \( y = \ln(u(x)) \)
باستخدام قاعدة السلسلة:
صيغة قاعدة السلسلة:
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(u(x)) = \dfrac{1}{u} \dfrac{du}{dx} \]
أمثلة مع الحلول
مثال 1: مشتقات دوال اللوغاريتم الطبيعي المركبة
أوجد مشتقات الدوال التالية:
- \( f(x) = \ln\left(\dfrac{x^2}{x-2}\right) \)
- \( g(x) = \ln\left(\sqrt{x^3+1}\right) \)
- \( h(x) = \ln(x^2 + 2x - 5) \)
الحلول:
-
لتكن \( u(x) = \dfrac{x^2}{x-2} \)، إذن \( u'(x) = \dfrac{2x(x-2) - x^2(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} \).
\[ f'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{x-2}} \cdot \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} = \dfrac{x-4}{x(x-2)} \] -
لتكن \( u(x) = \sqrt{x^3+1} \)، إذن \( u'(x) = \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} \).
\[ g'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}} \cdot \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} = \dfrac{3x^2}{2(x^3+1)} \] -
لتكن \( u(x) = x^2+2x-5 \)، إذن \( u'(x) = 2x+2 \).
\[ h'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{2x+2}{x^2+2x-5} \]