إيجاد نهايات الدوال في التفاضل والتكامل

أمثلة، حلول تفصيلية، وتدريبات عملية

أوجد نهايات الدوال المختلفة باستخدام طرق متنوعة، بما في ذلك التحليل إلى عوامل، الضرب بالمرافق، قاعدة لوبيتال، ومبرهنة الإحصار. يتم عرض أمثلة مع حلول تفصيلية خطوة بخطوة أدناه.

فيما يلي، يمثل \( C \) ثابت التكامل إن وجد.

أمثلة مع حلول تفصيلية

انقر فوق كل مثال لعرض حله المفصل خطوة بخطوة.

المثال 1

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x-1|} \]
إظهار الحل

لاحظ أننا نبحث عن النهاية عندما يقترب \( x \) من 1 من اليسار (يعني \( x \to 1^- \) أن \( x \) يقترب من 1 بقيم أصغر من 1). ومن ثم:

\[ x < 1 \]
\[ x - 1 < 0 \]

إذا كان \( x - 1 < 0 \) فإن:

\[ |x - 1| = -(x - 1) \]

حلل البسط وبسّط للحصول على:

\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} \]
\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]

الإجابة النهائية هي:

\[ \boxed{-4} \]

المثال 2

قيّم النهاية:

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30} \]
إظهار الحل

على الرغم من أن النهاية في السؤال هي نسبة بين كثيرتي حدود، إلا أن \( x = 5 \) يجعل كلًا من البسط والمقام مساويًا للصفر. نحتاج إلى تحليل كل من البسط والمقام كما هو موضح أدناه.

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{(x - 5)(x + 5)}{(x - 5)(x + 6)} \]

بسّط للحصول على:

\[ \lim_{x \to 5} \dfrac{x^2 - 25}{x^2 + x - 30} = \lim_{x \to 5} \dfrac{x + 5}{x + 6} = \dfrac{10}{11} \]

الإجابة النهائية هي:

\[ \boxed{\dfrac{10}{11}} \]

المثال 3

حدد النهاية:

\[ \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{|x - 2|} \]
إظهار الحل

يحتاج منا الأمر إلى النظر في النهاية من يسار 2 والنهاية من يمين 2.

بينما يقترب \( x \) من 2 من اليسار (\( x \to 2^- \))، يكون \( x - 2 < 0 \)، ومن ثم:

\[ |x - 2| = -(x - 2) \]

عوض للحصول على النهاية من يسار 2 كما يلي:

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{-(x - 2)} \]

حلل البسط \( x^2 + 4x - 12 = (x - 2)(x + 6) \):

\[ = \lim_{x \to 2^-} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{-(x - 2)} = \lim_{x \to 2^-} -(x + 6) = -8 \]

بينما يقترب \( x \) من 2 من اليمين (\( x \to 2^+ \))، يكون \( x - 2 > 0 \)، ومن ثم:

\[ |x - 2| = x - 2 \]

عوض للحصول على النهاية من يمين 2 كما يلي:

\[ \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x^2 + 4x - 12}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} \dfrac{(x - 2)(x + 6)}{x - 2} = \lim_{x \to 2^+} (x + 6) = 8 \]

النهاية من اليمين لـ 2 (8) والنهاية من اليسار لـ 2 (-8) غير متساويتين، وعليه فإن النهاية ذات الاتجاهين المعطاة غير موجودة.

المثال 4

احسب النهاية:

\[ \lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1) \]
إظهار الحل

بينما يقترب \( x \) من -1 من اليمين، يقترب \( \sqrt[3]{x+1} \) من 0 ويقترب \( \ln(x+1) \) من \( -\infty \)، مما يعطي صيغة غير معينة \( 0 \times (-\infty) \).

\[ \lim_{x \to -1^+} \sqrt[3]{x+1} \, \ln(x+1) = 0 \cdot (-\infty) \]

لنعد كتابة النهاية بحيث تصبح بصيغة عدم تعيين من الشكل \( \dfrac{\infty}{\infty} \).

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\ln(x+1)}{(x+1)^{-1/3}} = \dfrac{-\infty}{\infty} \]

نستخدم الآن قاعدة لوبيتال ونجد النهاية.

\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{d}{dx}[\ln(x+1)]}{\dfrac{d}{dx}[(x+1)^{-1/3}]} = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}}{-\dfrac{1}{3}(x+1)^{-4/3}} \]
\[ = \lim_{x \to -1^+} \dfrac{1}{x+1} \cdot \left( -\dfrac{3}{(x+1)^{-4/3}} \right) = \lim_{x \to -1^+} -3 (x+1)^{1/3} = 0 \]

إذن، النهاية هي 0.

\[ \boxed{0} \]

المثال 5

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) \]
إظهار الحل

كلما كبر \( x \)، كبر \( x + 1 \)، واقترب \( \dfrac{1}{x+1} \) من الصفر، واقترب \( e^{1/(x+1)} \) من 1، واقترب \( e^{1/(x+1)} - 1 \) من 0؛ وعليه فهي صيغة غير معينة: \( \infty \times 0 \).

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -\infty \cdot 0 \]

لنعد كتابة النهاية لتصبح بصيغة عدم التعيين \( \dfrac{0}{0} \):

\[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = \dfrac{0}{0} \]

نطبق مبرهنة لوبيتال لإيجاد النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} -\dfrac{e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1}{\dfrac{1}{x+1}} = -\lim_{x \to \infty} \dfrac{\dfrac{d}{dx}\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right)}{\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{1}{x+1}\right)} \]
\[ = \lim_{x \to \infty} -\dfrac{\left(-\dfrac{1}{(x+1)^2}\right)e^{\dfrac{1}{x+1}}}{-\dfrac{1}{(x+1)^2}} = \lim_{x \to \infty} -e^{\dfrac{1}{x+1}} = -1 \]

ومن ثم:

\[ \lim_{x \to \infty} - (x + 1)\left(e^{\dfrac{1}{x+1}} - 1\right) = -1 \]

المثال 6

احسب النهاية:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{\sqrt{x} - 3}{x - 9} \]
إظهار الحل

بينما يقترب \( x \) من 9، يقترب كل من البسط والمقام من 0. اضرب كلا من البسط والمقام في مرافق البسط:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 3)}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} \]

انشر وبسّط:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{x - 9}{(x - 9)(\sqrt{x} + 3)} = \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} \]

جد الآن النهاية بالتعويض المباشر:

\[ \lim_{x \to 9} \dfrac{1}{\sqrt{x} + 3} = \dfrac{1}{6} \]

المثال 7

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x} \]
إظهار الحل

مدى دالة جيب التمام هو:

\[ -1 \le \cos x \le 1 \]

اقسم جميع حدود المتراجحة السابقة على \( x \)، من أجل \( x > 0 \):

\[ -\dfrac{1}{x} \le \dfrac{\cos x}{x} \le \dfrac{1}{x} \]

الآن عندما \( x \to +\infty \)، يقترب كل من \( -\dfrac{1}{x} \) و \( \dfrac{1}{x} \) من 0. وعليه، بموجب مبرهنة الإحصار، النهاية هي:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3 \cos x}{x} = 0 \]

المثال 8

أوجد النهاية:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} \]
إظهار الحل

بينما يقترب \( t \) من 0، يقترب كل من البسط والمقام من 0 ولدينا صيغة عدم التعيين \( 0 / 0 \).

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \dfrac{0}{0} \]

لذلك، تُستخدم مبرهنة لوبيتال لحساب النهاية أعلاه كالتالي:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin t - t}{\tan t} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\dfrac{d}{dt}(\sin t - t)}{\dfrac{d}{dt}(\tan t)} \]
\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\cos t - 1}{\sec^2 t} = \dfrac{0}{1} = 0 \]

المثال 9

احسب النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{\sqrt{16x^2 + 1}} \]
إظهار الحل

نستخرج أولاً \( 16x^2 \) كعامل مشترك تحت الجذر التربيعي للمقام، ونخرجه خارج الجذر، ونعيد كتابة النهاية كالتالي:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4|x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} \]

بما أن \( x \) يقترب من قيم موجبة أكبر (اللانهاية)، فإن \( |x| = x \) و \( \dfrac{1}{16x^2} \) يقترب من 0. بسّط واوجد النهاية:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x}{4x \sqrt{1 + \dfrac{1}{16x^2}}} = \dfrac{3}{4} \]

المثال 10

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2} \]
إظهار الحل

بينما يقترب \( x \) من 2 من اليسار، يقترب \( x - 2 \) من 0 من اليسار أو \( x - 2 < 0 \). يقترب البسط من 5 والمقام من 0 من اليسار، وعليه تُعطى النهاية بما يلي:

\[ \lim_{x \to 2^-} \dfrac{x^2 + 1}{x - 2} = -\infty \]

المثال 11

احسب النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2 + 2x - 1} \]
إظهار الحل

حلل \( x^2 \) في المقام وبسّط:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{x^2\left(4 + \dfrac{2}{x} - \dfrac{1}{x^2}\right)} \]

بينما يأخذ \( x \) قيمًا كبيرة (اللانهاية)، يقترب الحدّان \( \dfrac{2}{x} \) و \( \dfrac{1}{x^2} \) من 0. ومن ثم فإن النهاية هي:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{3x^2}{4x^2} = \dfrac{3}{4} \]

المثال 12

احسب النهاية:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{\sin(t)} \]
إظهار الحل

اضرب البسط والمقام في \( t \):

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{t} \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

أعد كتابة التعبير باستخدام المعالجة الجبرية:

\[ = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot \dfrac{3t}{\sin(t)} = \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} \cdot 3 \cdot \dfrac{t}{\sin(t)} \]

استخدم النهاية المعروفة \( \lim_{u \to 0} \dfrac{\sin u}{u} = 1 \). ليكن \( u = 3t \)، بحيث أنه عندما \( t \to 0 \)، فإن \( u \to 0 \):

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{\sin(3t)}{3t} = 1 \]

وأيضًا:

\[ \lim_{t \to 0} \dfrac{t}{\sin(t)} = 1 \]

إذن، النهاية هي:

\[ = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3 \]

المثال 13

أوجد النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) \]
إظهار الحل

حلل \( x^2 \) داخل الجذر التربيعي:

\[ \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2\left(1+\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}\right)} - x \right) \]

استخدم حقيقة أن \( \sqrt{x^2} = |x| \):

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( \sqrt{x^2} \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \lim_{x \to \infty} \left( |x| \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) \]

بما أن \( x \) يأخذ قيمًا موجبة كبيرة (اللانهاية)، فإن \( |x| = x \) وكلًا من \( \dfrac{1}{x} \) و \( \dfrac{1}{x^2} \) يقترب من 0. وعليه لدينا صيغة عدم التعيين \( \infty - \infty \):

\[ = \lim_{x \to \infty} \left( x \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} - x \right) = \infty - \infty \]

ابدأ بالنهاية المعطاة مرة أخرى، واضرب بسطها ومقامها في المرافق، وبسّط:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ \left( \sqrt{x^2 + x + 1} - x \right) \left( \sqrt{x^2 + x + 1} + x \right) }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \]
\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x^2 + x + 1 - x^2 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x + 1 }{ \sqrt{x^2 + x + 1} + x } \]

استخرج \( x \) كعامل مشترك من البسط والمقام وبسّط:

\[ = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ x \left( 1 + \dfrac{1}{x} \right) }{ x \left( \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 \right) } = \lim_{x \to \infty} \dfrac{ 1 + \dfrac{1}{x} }{ \sqrt{1 + \dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{x^2}} + 1 } \]

بينما يكبر \( x \)، يقترب الحدان \( \dfrac{1}{x} \) و \( \dfrac{1}{x^2} \) من الصفر وتتقيم النهاية كالتالي:

\[ = \dfrac{1}{1 + 1} = \dfrac{1}{2} \]

المثال 14

حدد النهاية:

\[ \lim_{x \to \infty} x \sin \dfrac{1}{x} \]
إظهار الحل

ليكن \( z = 1 / x \) بحيث أنه عندما يكبر \( x \)، يقترب \( z \) من 0. عوض واحسب النهاية كالتالي:

\[ = \lim_{z \to 0} \dfrac{\sin z}{z} = 1 \]

تمارين تدريبية

احسب النهايات التالية. انقر فوق كل تمرين للتحقق من إجاباتك.

التمرين 1

\( \displaystyle \lim_{x \to 2} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} \)

إظهار الإجابة
\[ 3 \]

التمرين 2

\( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{3 - x}{\sqrt{x^2 + 3x}} \)

إظهار الإجابة
\[ 1 \]

التمرين 3

\( \displaystyle \lim_{x \to 2^+} \dfrac{x - 2}{|x - 2|} \)

إظهار الإجابة
\[ 1 \]

التمرين 4

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sqrt{x + 4} - 2}{x} \)

إظهار الإجابة
\[ \dfrac{1}{4} \]

التمرين 5

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\tan x - x}{\sin x} \)

إظهار الإجابة
\[ 0 \]

التمرين 6

\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\sin 4x}{\sin x} \)

إظهار الإجابة
\[ 4 \]

مزيد من المراجع والروابط