قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات

الصيغ، التطبيقات، والحلول التفصيلية خطوة بخطوة

مقدمة في قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات

عند التعامل مع دالة متعددة المتغيرات حيث تكون المتغيرات الداخلية نفسها دوال لمعامل مستقل واحد أو أكثر، تتيح لنا قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات حساب مشتقة الدالة المركبة بالنسبة لتلك المعاملات.

معامل مستقل واحد

بالنظر إلى دالة \( f(x, y, z) \) حيث تكون \( x \) و \( y \) و \( z \) كلها دوال لمتغير واحد \( t \)، يتم حساب المشتقة الكلية لـ \( f \) بالنسبة لـ \( t \) بأخذ مجموع حاصل ضرب المشتقات الجزئية لـ \( f \) والمشتقات العادية للمتغيرات الداخلية:

\[ \dfrac{df}{dt} = \dfrac{\partial f}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial f}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]

معاملات مستقلة متعددة (قاعدة السلسلة الموسعة)

إذا كان للدالة \( f(x, y) \) متغيرات داخلية \( x \) و \( y \) وهي دوال لمعاملات متعددة، مثل \( t \) و \( r \)، فإننا نستخدم قاعدة السلسلة الموسعة لإيجاد المشتقات الجزئية لـ \( f \) بالنسبة لكل معامل:

\[ \dfrac{\partial f}{\partial t} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial t} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial t} \] \[ \dfrac{\partial f}{\partial r} = \dfrac{\partial f}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial f}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \]

أمثلة باستخدام قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

\( U \) هي دالة في \( x \) و \( y \) و \( z \) مُعطاة كما يلي:

\[ U = e^{xy} - \frac{1}{z} \]

و \( x \) و \( y \) و \( z \) هي دوال لـ \( t \):

\[ x = 2t^2 + t, \quad y = 2 + \ln(t), \quad z = t - 2 \]

أوجد \(\dfrac{dU}{dt}\).

عرض حل المثال 1

نصيغ أولاً قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات لإيجاد \(\dfrac{dU}{dt}\):

\[ \dfrac{dU}{dt} = \dfrac{\partial U}{\partial x}\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial y}\dfrac{dy}{dt} + \dfrac{\partial U}{\partial z}\dfrac{dz}{dt} \]

نحسب بعد ذلك كل حد في الصيغة أعلاه (ملاحظة: مشتقة \(-z^{-1}\) هي \(+z^{-2}\)):

\[ \dfrac{\partial U}{\partial x} = y e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial y} = x e^{xy}, \quad \dfrac{\partial U}{\partial z} = \frac{1}{z^2} \] \[ \dfrac{dx}{dt} = 4t + 1, \quad \dfrac{dy}{dt} = \frac{1}{t}, \quad \dfrac{dz}{dt} = 1 \]

نعوض بهذه القيم في صيغة قاعدة السلسلة:

\[ \dfrac{dU}{dt} = \left(y e^{xy}\right) (4t + 1) + \left(x e^{xy}\right) \left(\frac{1}{t}\right) + \left(\frac{1}{z^2}\right) (1) \]

نستخرج \(e^{xy}\) كعامل مشترك ونستبدل \(x\) و \(y\) و \(z\) بدوالهم في \(t\):

\[ = \left(4ty + y + \frac{x}{t}\right)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]

نفك الحدود داخل الأقواس لإيجاد النتيجة النهائية:

\[ = (4t\ln(t) + \ln(t) + 10t + 3)e^{(2t^2 + t)(2 + \ln(t))} + \frac{1}{(t - 2)^2} \]

المثال 2

\( W \) هي دالة في \( x \) و \( y \) مُعطاة كما يلي:

\[ W = \sqrt{x^2+y^2} \]

و \( x \) و \( y \) هما دالتان لـ \( r \) و \( \theta \) مُعطاتان كما يلي:

\[ x = r \cos(\theta), \quad y = r \sin(\theta) \]

أوجد \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\) و \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\) حيث \( r \ge 0 \) و \( 0 \le \theta \le 2\pi \).

عرض حل المثال 2

نستخدم قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات الموسعة لإيجاد المشتقتين الجزئيتين:

\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial r} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial r} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial \theta} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial \theta} \]

نحسب جميع المكونات الفردية:

\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial x}{\partial r} = \cos(\theta) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}}, \quad \dfrac{\partial y}{\partial r} = \sin(\theta) \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial \theta} = -r \sin(\theta), \quad \dfrac{\partial y}{\partial \theta} = r \cos(\theta) \]

نعوض ونبسط لإيجاد \(\dfrac{\partial W}{\partial r}\):

\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} \cos(\theta) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} \sin(\theta) \]

بما أن \(x = r \cos(\theta)\) و \(y = r \sin(\theta)\) و \(\sqrt{x^2+y^2} = r\)، تصبح:

\[ \dfrac{\partial W}{\partial r} = \frac{r \cos(\theta)}{r} \cos(\theta) + \frac{r \sin(\theta)}{r} \sin(\theta) = \cos^2(\theta) + \sin^2(\theta) = 1 \]

نعوض ونبسط لإيجاد \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta}\):

\[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} (-r \sin(\theta)) + \frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} (r \cos(\theta)) \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial \theta} = \frac{r \cos(\theta)}{r} (-r \sin(\theta)) + \frac{r \sin(\theta)}{r} (r \cos(\theta)) = -r\cos(\theta)\sin(\theta) + r\cos(\theta)\sin(\theta) = 0 \]

ملاحظة: كان من الممكن إتمام كل ما سبق بشكل أسرع بكثير عن طريق التعويض المباشر بـ \(x\) و \(y\) في \(W\):

\[ W = \sqrt{x^2+y^2} = \sqrt{(r\cos \theta)^2+(r\sin \theta)^2} = \sqrt{r^2(\cos^2 \theta + \sin^2 \theta)} = r \]

والذي يعطي بسهولة \(\dfrac{\partial W}{\partial r} = 1\) و \(\dfrac{\partial W}{\partial \theta} = 0\). هذا المثال يوضح التحقق من أن قاعدة السلسلة تتطابق مع التعويض المباشر.

المثال 3

\( W \) هي دالة في \( x \) و \( y \) مُعطاة كما يلي:

\[ W = \ln(x + y) - \sin(x + y) \]

و \( x \) و \( y \) هما دالتان لـ \( u \) و \( v \) مُعطاتان كما يلي:

\[ x = u^2 + v^2, \quad y = u + v \]

أوجد \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\) و \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\).

عرض حل المثال 3

قاعدة السلسلة متعددة المتغيرات الموسعة لـ \(u\) و \(v\) هي:

\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial u} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial u} \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \dfrac{\partial W}{\partial x} \dfrac{\partial x}{\partial v} + \dfrac{\partial W}{\partial y} \dfrac{\partial y}{\partial v} \]

احسب المشتقات الجزئية اللازمة:

\[ \dfrac{\partial W}{\partial x} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial x}{\partial u} = 2u \] \[ \dfrac{\partial W}{\partial y} = \frac{1}{x+y} - \cos(x + y), \quad \dfrac{\partial y}{\partial u} = 1 \] \[ \dfrac{\partial x}{\partial v} = 2v, \quad \dfrac{\partial y}{\partial v} = 1 \]

عوض بالحدود لإيجاد \(\dfrac{\partial W}{\partial u}\):

\[ \dfrac{\partial W}{\partial u} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2u + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2u + 1) \frac{1}{x+y} - (2u + 1) \cos(x + y) \]

عوض بالحدود لإيجاد \(\dfrac{\partial W}{\partial v}\):

\[ \dfrac{\partial W}{\partial v} = \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) 2v + \left(\frac{1}{x+y} - \cos(x + y)\right) (1) \] \[ = (2v + 1) \frac{1}{x+y} - (2v + 1) \cos(x + y) \]

المثال 4

حجم ممتد مستطيل أبعاده \( L \) و \( W \) و \( H \) يُعطى بالصيغة:

\[ V = LWH \]

أوجد المعدل (بـ \(\text{cm}^3/\text{s}\)) الذي يتغير به الحجم \( V \) عندما يكون الطول \( L = 50\text{ cm} \) ويزداد بمعدل \( 0.2\text{ cm/s} \)، والعرض \( W = 40\text{ cm} \) ويزداد بمعدل \( 0.1\text{ cm/s} \)، والارتفاع \( H = 30\text{ cm} \) ويتناقص بمعدل \( 0.1\text{ cm/s} \).

عرض حل المثال 4

تتغير الأبعاد \( L \) و \( W \) و \( H \) بالنسبة للزمن \( t \)، وبالتالي يتغير الحجم \( V \) أيضاً مع الزمن. تُستخدم قاعدة السلسلة لإيجاد \(\dfrac{dV}{dt}\):

\[ \dfrac{dV}{dt} = \dfrac{\partial V}{\partial L}\dfrac{dL}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial W}\dfrac{dW}{dt} + \dfrac{\partial V}{\partial H}\dfrac{dH}{dt} \]

احسب المشتقات الجزئية وحدد معدلات التغير:

\[ \dfrac{\partial V}{\partial L} = WH, \quad \dfrac{dL}{dt} = 0.2 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial W} = LH, \quad \dfrac{dW}{dt} = 0.1 \] \[ \dfrac{\partial V}{\partial H} = LW, \quad \dfrac{dH}{dt} = -0.1 \]

قيّم \(\dfrac{dV}{dt}\) باستخدام القيم اللحظية المعطاة (\(L=50, W=40, H=30\)):

\[ \dfrac{dV}{dt} = (40)(30)(0.2) + (50)(30)(0.1) + (50)(40)(-0.1) \] \[ \dfrac{dV}{dt} = 240 + 150 - 200 = 190 \text{ cm}^3/\text{s} \]

المثال 5

المقاومة المكافئة \( R \) لمقاومتين على التوازي بمقاومتين \( R_1 \) و \( R_2 \) تُعطى بالصيغة:

\[ R = \frac{R_1 R_2}{R_1+R_2} \]

تتغير المقاومتان \( R_1 \) و \( R_2 \) مع درجة الحرارة \( T \) وفقاً للصيغ التالية:

\[ R_1 = R_{10}(1 + \alpha(T - T_0)), \quad R_2 = R_{20}(1 + \beta(T - T_0)) \]

حيث \( R_{10} \) و \( R_{20} \) و \( \alpha \) و \( \beta \) و \( T_0 \) ثوابت. أوجد معدل التغير \(\dfrac{dR}{dT}\).

عرض حل المثال 5

تُعطى \(\dfrac{dR}{dT}\) بواسطة قاعدة السلسلة على النحو التالي:

\[ \dfrac{dR}{dT} = \dfrac{\partial R}{\partial R_1}\dfrac{dR_1}{dT} + \dfrac{\partial R}{\partial R_2}\dfrac{dR_2}{dT} \]

باستخدام قاعدة القسمة، احسب المشتقات الجزئية لـ \(R\)، ثم أوجد مشتقات \(R_1\) و \(R_2\) بالنسبة لـ \(T\):

\[ \dfrac{\partial R}{\partial R_1} = \frac{R_2(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_1}{dT} = R_{10} \alpha \] \[ \dfrac{\partial R}{\partial R_2} = \frac{R_1(R_1+R_2) - R_1 R_2(1)}{(R_1+R_2)^2} = \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2}, \quad \dfrac{dR_2}{dT} = R_{20} \beta \]

عوض بهذه الحدود مرة أخرى في معادلة قاعدة السلسلة:

\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{10} \alpha) + \frac{R_1^2}{(R_1+R_2)^2} (R_{20} \beta) \]

اجمع في كسر واحد:

\[ \dfrac{dR}{dT} = \frac{R_2^2 R_{10} \alpha + R_1^2 R_{20} \beta}{(R_1+R_2)^2} \]

المزيد من المراجع والروابط