مشتقات المعادلات الوسيطية والتطبيقات

المشتقة الأولى والثانية للمعادلات الوسيطية

بالنظر إلى معادلات وسيطية على الشكل:

ما هي المشتقة \( \dfrac{dy}{dx} \)?

أولاً، أوجد المشتقة \( \dfrac{dy}{dt} \) باستخدام قاعدة السلسلة للتفاضل:

قسمة الطرفين على \( \dfrac{dx}{dt} \) والتبسيط ينتج عنها:

المشتقة الثانية مُعرفة كالتالي:

التعويض عن \( y \) بـ \( \dfrac{dy}{dx} \) في الصيغة (I) أعلاه يعطي:

أمثلة وحلولها

انقر على كل مثال لعرض حله التفصيلي خطوة بخطوة.

المثال 1

بالنظر إلى المعادلات الوسيطية على الشكل:

ما هي المشتقة \( \dfrac{dy}{dx} \)?

المثال 2

أ) أوجد المشتقة الأولى \( \dfrac{dy}{dx} \) والمشتقة الثانية \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \) بمعلومية المعادلات الوسيطية:

وحدد تقعر المنحنى.

ب) استخدم أداة رسم البياني للتحقق من إجابة التقعر من الجزء أ).

عرض حل المثال 2

أ)

أوجد \( \dfrac{dy}{dt} \) و \( \dfrac{dx}{dt} \):

\[ \dfrac{dy}{dt} = 2\sin t, \quad \dfrac{dx}{dt} = 2(1 - \cos t) \]

استخدم الصيغة (I) لإيجاد \( \dfrac{dy}{dx} \):

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\dfrac{dy}{dt}}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{2\sin t}{2(1 - \cos t)} = \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} \]

بعد ذلك، احسب \( \dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right) \):

\[ \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{\sin t}{1 - \cos t} \right) = \dfrac{\cos t(1 - \cos t) - \sin t(\sin t)}{(1 - \cos t)^2} = \dfrac{\cos t - \cos^2 t - \sin^2 t}{(1 - \cos t)^2} = \dfrac{\cos t - 1}{(1 - \cos t)^2} = -\dfrac{1}{1 - \cos t} = \dfrac{1}{\cos t - 1} \]

استخدم الصيغة (II) للحصول على المشتقة الثانية:

\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{dy}{dx}\right)}{\dfrac{dx}{dt}} = \dfrac{\dfrac{1}{\cos t - 1}}{2(1 - \cos t)} = -\dfrac{1}{2(\cos t - 1)^2} \]

المشتقة الثانية سالبة دائماً (باستثناء حيث يساوي المقام صفر)، ومن ثم فإن منحنى المعادلات الوسيطية يكون مقعراً لأسفل (concave down).

ب)

رسم المعادلات الوسيطية المعطاة (المعروفة باسم منحنى دالتشي / سايكلويد) يؤكد أن المنحنى مقعر لأسفل تماماً.

المثال 3

أ) ارسم المنحنى المعرف بالمعادلات الوسيطية:

ب) أوجد المشتقة الأولى \( \dfrac{dy}{dx} \) ومعادلات خطوط المماس عند النقطة \( (0, 0) \) وارسمها.

عرض حل المثال 3

أ)

ب)

أوجد المشتقات \( \dfrac{dy}{dt} \) و \( \dfrac{dx}{dt} \):

\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos^2 t - \sin^2 t, \quad \dfrac{dx}{dt} = \cos t \]

أوجد \( \dfrac{dy}{dx} \) باستخدام الصيغة (I):

\[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos^2 t - \sin^2 t}{\cos t} \]

أوجد قيم \( t \) التي يكون عندها \( (x, y) = (0, 0) \) عن طريق حل \( \sin t = 0 \) و \( \sin t \cos t = 0 \) لـ \( t \in [0, 2\pi] \):

\[ t = 0 \quad \text{و} \quad t = \pi \]

قيّم \( \dfrac{dy}{dx} \) عند \( t = 0 \) للحصول على الميل الأول \( m_1 \):

\[ m_1 = \dfrac{\cos^2 0 - \sin^2 0}{\cos 0} = 1 \]

قيّم \( \dfrac{dy}{dx} \) عند \( t = \pi \) للحصول على الميل الثاني \( m_2 \):

\[ m_2 = \dfrac{\cos^2 \pi - \sin^2 \pi}{\cos \pi} = -1 \]

معادلات المماسات عند النقطة \( (0, 0) \):

\[ y = x \quad \text{و} \quad y = -x \]

الأسئلة

تدرب على حل المسائل أدناه. انقر فوق كل صندوق حل للتحقق من إجاباتك.

1. السؤال 1
   أ) بالنظر إلى المعادلات الوسيطية \( \left\{ \begin{aligned} x(t) &= \cos t + 2 \\ y(t) &= \sin t - 1 \end{aligned} \right., t \in [\pi, 2\pi] \)، أوجد المشتقة \( \dfrac{dy}{dx} \) عند \( t = \dfrac{3\pi}{2} \).
   ب) ما هو تقعر المنحنى؟
   ج) ارسم المنحنى وتحقق من إجاباتك.


2. السؤال 2
   معطى منحنى بالإحداثيات القطبية بواسطة \( r = 3 - 3\cos\theta \).
   أ) أوجد ميل المماس للمنحنى عندما \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \).
   ب) أوجد \( \theta \) و \( r \) بحيث يكون المماس للمنحنى أفقياً.
   ج) ارسم \( r \) بالإحداثيات القطبية وتحقق من إجاباتك.


3. السؤال 3
   في الإحداثيات القطبية، معادلة دائرة نصف قطرها \( R \) مركزها نقطة الأصل هي \( r = R \). أوجد الإحداثيات الديكارتية لجميع النقاط على دائرة نصف قطرها 2 مركزها نقطة الأصل حيث تكون المماسات ذات ميل يساوي \( \dfrac{1}{2} \).

حلول التمارين أعلاه

حل السؤال 1

عرض حل السؤال 1

أ) أوجد \( \dfrac{dy}{dt} \) و \( \dfrac{dx}{dt} \):

\[ \dfrac{dy}{dt} = \cos t, \quad \dfrac{dx}{dt} = -\sin t \] \[ \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\cos t}{-\sin t} = -\cot t \]

قيّم عند \( t = \dfrac{3\pi}{2} \):

\[ \dfrac{dy}{dx} = -\cot\left(\dfrac{3\pi}{2}\right) = 0 \]

ب) احسب المشتقة الثانية \( \dfrac{d^2 y}{dx^2} \):

\[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} = \dfrac{\dfrac{d}{dt}(-\cot t)}{-\sin t} = \dfrac{\csc^2 t}{-\sin t} = -\csc^3 t \]

بما أن \( \csc t = \dfrac{1}{\sin t} \) سالبة على الفتره \( (\pi, 2\pi) \)، فإن المشتقة الثانية \( -\csc^3 t \) تكون موجبة، مما يعني أن المنحنى يكون مقعراً لأعلى (concave up) على الفتره \( (\pi, 2\pi) \).

حل السؤال 2

عرض حل السؤال 2

أ) باستخدام التحويل من الإحداثيات القطبية إلى الديكارتية:

\[ x(\theta) = (3 - 3\cos\theta)\cos\theta, \quad y(\theta) = (3 - 3\cos\theta)\sin\theta \]

حساب المشتقات بالنسبة إلى \( \theta \):

\[ \dfrac{dy}{d\theta} = 3\sin^2\theta + \cos\theta(3 - 3\cos\theta), \quad \dfrac{dx}{d\theta} = 3\sin(2\theta) - 3\sin\theta \]

عند \( \theta = \dfrac{\pi}{4} \)، التعويض بالقيم يعطي الميل \( m = \sqrt{2} + 1 \approx 2.41 \).

ب) للحصول على مماس أفقي، اجعل \( \dfrac{dy}{d\theta} = 0 \) (مع \( \dfrac{dx}{d\theta} \neq 0 \)):

\[ 3\sin^2\theta + 3\cos\theta - 3\cos^2\theta = 0 \implies 2\cos^2\theta - \cos\theta - 1 = 0 \]

الحل ينتج عنه \( \theta = \dfrac{2\pi}{3} \) و \( \theta = \dfrac{4\pi}{3} \) (باستثناء \( \theta = 0 \) حيث المقام يساوي صفر). أنصاف الأقطار المقابلة هي \( r = 4.5 \).

حل السؤال 3

عرض حل السؤال 3

المعادلات الوسيطية للدائرة \( r = 2 \):

\[ x(\theta) = 2\cos\theta, \quad y(\theta) = 2\sin\theta \]

المشتقة هي \( \dfrac{dy}{dx} = -\cot\theta \).

اجعل الميل مساوياً لـ \( \dfrac{1}{2} \):

\[ -\cot\theta = \dfrac{1}{2} \implies \tan\theta = -2 \]

الحل للزوايا في الفترة \( [0, 2\pi] \):

\[ \theta_1 \approx 2.68 \text{ راديان} \, (153.55^\circ), \quad \theta_2 \approx 5.82 \text{ راديان} \, (333.46^\circ) \]

تقييم الإحداثيات الديكارتية:

\[ (2\cos\theta_1, 2\sin\theta_1) \approx (-1.79, 0.89) \] \[ (2\cos\theta_2, 2\sin\theta_2) \approx (1.79, -0.89) \]

المزيد من المراجع والروابط

• دروس المعادلات الوسيطية
• التقعر ونقطة الانقلاب للرسوم البيانية
• تحويل الإحداثيات القطبية إلى ديكارتية والعكس صحيح
• مسائل ودروس التفاضل والتكامل
• الصفحة الرئيسية لأنايلايز ماث