详细展示所有步骤，求解 \( y = u^v \) 的一阶导数。
\( u^v \) 的导数
注意：一般来说，形如 \( y = u^v \) 的函数（其中 \( u \) 和 \( v \) 均为函数）既不是形如 \( x^k \) 的幂函数，也不是形如 \( b^x \) 的指数函数，因此通常的求导公式不能直接套用。在这里，我们建议使用一种方法来求底数和指数都是可导函数的形如 \( y = u^v \) 的函数的一阶导数。
给定：
\[ y = u^v \]对两边取自然对数（\( \ln \)）：
\[ \ln y = \ln (u^v) \]利用对数性质 \( \ln(u^v) = v \ln u \) 化简右侧：
\[ \ln y = v \ln u \]利用链式法则和乘积法则，对两边关于 \( x \) 求导：
\[ \dfrac{dy}{dx} \dfrac{1}{y} = \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \]两边同乘以 \( y \)：
\[ \dfrac{dy}{dx} = y \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]将 \( y \) 替换回 \( u^v \)，得到最终的公式：
\( u^v \) 的导数公式：
\[ \dfrac{dy}{dx} = u^v \left( \dfrac{dv}{dx} \ln u + v \dfrac{du}{dx} \dfrac{1}{u} \right) \]
练习题与答案
练习题与解答
求下列函数的一阶导数：
- \( y = (x+3)^{x - 2} \)
- \( y = (x^2+2)^{\ln x + 1} \)
上述练习题的答案：
- \( \dfrac{dy}{dx} = (x+3)^{x - 2} \left( \ln (x+3) + \dfrac{x - 2}{x+3} \right) \)
- \( \dfrac{dy}{dx} = (x^2+2)^{\ln x + 1} \left( \dfrac{1}{x} \ln (x^2+2) + (\ln x + 1) \dfrac{2x}{x^2+2} \right) \)