关于如何求 \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) 的一阶导数并在 \( x \in \mathbb{R} \) 时绘制 \( f \) 和 \( f' \) 图象的教程。
\( \sin(x) \) 与 \( \arcsin(\sin(x)) \) 的图象
由于 \( f \) 的定义域为 \( \mathbb{R} \) 且 \( \sin(x) \) 是周期函数，因此 \( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) 也是一个周期函数。
当 \( x \) 从 \( 0 \) 增至 \( \frac{\pi}{2} \) 时，\( \sin(x) \) 从 \( 0 \) 增至 \( 1 \)，而 \( \arcsin(\sin(x)) \) 从 \( 0 \) 增至 \( \frac{\pi}{2} \)。事实上，对于 \( x \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right] \)，\( \arcsin(\sin(x)) = x \)。当 \( x \) 从 \( \frac{\pi}{2} \) 增至 \( \frac{3\pi}{2} \) 时，\( \sin(x) \) 从 \( 1 \) 减至 \( -1 \)，而 \( \arcsin(\sin(x)) \) 从 \( \frac{\pi}{2} \) 减至 \( -\frac{\pi}{2} \)。当 \( x \) 从 \( \frac{3\pi}{2} \) 增至 \( 2\pi \) 时，\( \sin(x) \) 从 \( -1 \) 增至 \( 0 \)，而 \( \arcsin(\sin(x)) \) 从 \( -\frac{\pi}{2} \) 增至 \( 0 \)。
由于 \( \sin(x) \) 的周期为 \( 2\pi \)，\( \arcsin(\sin(x)) \) 的周期也是 \( 2\pi \)。下图展示了 \( 0 \) 到 \( 2\pi \) 区间内 \( \arcsin(\sin(x)) \) 和 \( \sin(x) \) 的图象。
下图展示了 \( \arcsin(\sin(x)) \) 和 \( \sin(x) \) 在 3 个周期内的图象。
\( f \) 的定义域： \( (-\infty, +\infty) \)
\( f \) 的值域： \( \left[-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right] \)
\( f(x) = \arcsin(\sin(x)) \) 的导数及其图象
\( f(x) \) 是一个复合函数，其导数使用链式法则计算如下：令 \( u = \sin(x) \)。
因此 \( f(x) = \arcsin(u(x)) \)。
应用微分链式法则：
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d(\arcsin(u))}{du} = \cos(x) \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - u^2}} \]代入 \( u = \sin(x) \)：
\[ f'(x) = \frac{\cos(x)}{\sqrt{1 - \sin^2(x)}} \]化简：
下方展示了红色的 \( \arcsin(\sin(x)) \) 及其蓝色的导数。注意，对于使 \( \cos(x) = 0 \) 的 \( x \) 值（即 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)，其中 \( k \) 为整数），该导数未定义。对于这些相同的 \( x \) 值，\( \arcsin(\sin(x)) \) 具有等于 \( \frac{\pi}{2} \) 的最大值或等于 \( -\frac{\pi}{2} \) 的最小值。
请注意，尽管 \( \arcsin(\sin(x)) \) 对所有 \( x \) 值都是连续的，但其导数在某些 \( x \) 值处未定义。
