关于如何求 \( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) 的一阶导数并在其自然定义域内绘制 \( f \) 和 \( f' \) 图象的微积分教程。
\( \tan(x) \) 与 \( \arctan(\tan(x)) \) 的图象
\( f(x) \) 在所有 \( x \in \mathbb{R} \) 处均有定义，除了 \( x = \dfrac{\pi}{2} + k\pi \)，其中 \( k \) 为整数。
由于 \( \tan(x) \) 是周期函数，\( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) 也是一个周期函数。
当 \( x \) 从 \( -\frac{\pi}{2} \) 增至 \( \frac{\pi}{2} \)（开区间）时，\( \tan(x) \) 从极小值（\(-\infty\)）增至极大值（\(+\infty\)），而 \( \arctan(\tan(x)) \) 从 \( -\frac{\pi}{2} \) 增至 \( \frac{\pi}{2} \)（开区间），因为 \( \tan(x) \) 在 \( -\frac{\pi}{2} \) 和 \( \frac{\pi}{2} \) 处未定义。事实上，对于 \( x \in \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) \)，我们有 \( \arctan(\tan(x)) = x \)。
由于 \( \tan(x) \) 的周期为 \( \pi \)，\( \arctan(\tan(x)) \) 的周期也是 \( \pi \)。下图展示了从 \( -\frac{\pi}{2} \) 到 \( \frac{3\pi}{2} \) 区间内 \( \arctan(\tan(x)) \) 和 \( \tan(x) \) 的图象。
\( f \) 的定义域： \( \mathbb{R} - \left\{ \frac{\pi}{2} + k\pi,\ k \in \mathbb{Z} \right\} \)
\( f \) 的值域： \( \left( -\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2} \right) \)
下图展示了 \( \arctan(\tan(x)) \) 在三个周期内的图象。
\( f(x) = \arctan(\tan(x)) \) 的导数及其图象
\( f(x) \) 是一个复合函数，其导数使用链式法则计算如下：
令 \( u = \tan(x) \)，因此 \( f(x) = \arctan(u(x)) \)。
应用微分链式法则：
\[ f'(x) = \frac{du}{dx} \cdot \frac{d}{du}(\arctan(u)) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{u^2 + 1} \]代入 \( u = \tan(x) \)：
\[ f'(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \cdot \frac{1}{\tan^2(x) + 1} \]由于 \( 1 + \tan^2(x) = \frac{1}{\cos^2(x)} \)：
下方展示了红色的 \( \arctan(\tan(x)) \) 及其蓝色的导数。注意，对于使 \( \cos(x) = 0 \) 的 \( x \) 值（即 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)，其中 \( k \) 为整数），该导数未定义。此外，\( f(x) \) 本身在这些点处也未定义。
