什么是微积分中的差商？
我们从定义开始，然后通过详细的解释计算不同函数的差商作为例题。
注意：文中包含一个差商计算器，可用于检查结果并生成更多练习。
差商的定义
设 \( f \) 是一个函数，其图象如下所示。
\( A \) 和 \( B \) 是函数 \( f \) 图象上的点。穿过两点 \( A(x, f(x)) \) 和 \( B(x+h, f(x+h)) \) 的直线称为割线。割线的斜率 \( m \) 计算如下：
\[ m = \dfrac{f(x + h) - f(x)}{(x + h) - x} \]化简分母可得：
斜率 \( m \) 称为差商。这是微积分中一个非常重要的概念，它被用来定义函数 \( f \) 的导数，而导数进而定义了数学中函数的局部变化率。
经典例题与解答
在下面的例题中，我们计算并化简不同函数的差商。
例题 1
求由下式定义的函数 \( f \) 的差商：
\[ f(x) = 2x + 5 \]例题 1 解答
我们首先需要计算 \( f(x + h) \)：
\[ f(x + h) = 2(x + h) + 5 \]现在将 \( f(x + h) \) 和 \( f(x) \) 代入差商的定义中：
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h) + 5 - (2x + 5)}{h} \]化简上述表达式：
\[ = \dfrac{2h}{h} = 2 \]答案是 2，这也是函数 \( f \) 所代表的直线的斜率。为什么？因为线性函数的平均变化率（即斜率）是恒定不变的！
例题 2
求下列函数的差商：
\[ f(x) = 2x^2 + x - 2 \]例题 2 解答
我们首先计算 \( f(x + h) \)：
\[ f(x + h) = 2(x + h)^2 + (x + h) - 2 \]现在将 \( f(x + h) \) 和 \( f(x) \) 代入差商中：
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2(x + h)^2 + (x + h) - 2 - (2x^2 + x - 2)}{h} \]展开分子中的表达式并合并同类项：
\[ = \dfrac{2(x^2 + 2xh + h^2) + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{2x^2 + 4xh + 2h^2 + x + h - 2 - 2x^2 - x + 2}{h} \] \[ = \dfrac{4xh + 2h^2 + h}{h} = 4x + 2h + 1 \]例题 3
求由下式给出的函数 \( f \) 的差商：
\[ f(x) = \sin x \]并将结果写成乘积形式。
例题 3 解答
我们首先计算 \( f(x + h) \)：
\[ f(x + h) = \sin(x + h) \]现在将 \( f(x + h) \) 和 \( f(x) \) 代入差商中：
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{\sin(x + h) - \sin x}{h} \]我们使用三角公式将差 \( \sin(x + h) - \sin x \) 转化为乘积：
\[ \sin(x + h) - \sin x = 2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right) \]将上述表达式代入差商中得到：
\[ \dfrac{f(x + h) - f(x)}{h} = \dfrac{2 \cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{h} = \dfrac{\cos\left(\dfrac{2x + h}{2}\right) \sin\left(\frac{h}{2}\right)}{\frac{h}{2}} \]