经典例题与详细解答
例题 1
求下列函数的导数：
\[ y = x^{\sin x} \]例题 1 解答
我们首先注意到，没有标准的公式可以直接用来对此函数求导。我们可以通过对 \( y = x^{\sin x} \) 两边取自然对数来计算一阶导数：
\[ \ln y = \ln \left( x^{\sin x} \right) \]利用对数性质重写右侧：
\[ \ln y = \sin x \ln x \]现在我们对两边关于 \( x \) 求导，左侧使用链式法则，右侧使用乘积法则：
\[ \dfrac{y'}{y} = \cos x \ln x + \sin x \left( \dfrac{1}{x} \right) \]两边同乘以 \( y \)：
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) y \]代入 \( y = x^{\sin x} \)：
\[ y' = \left( \cos x \ln x + \dfrac{\sin x}{x} \right) x^{\sin x} \]例题 2
求由下式定义的函数 \( y \) 的导数 \( y' \)：
\[ y = x e^{-x^2} \]例题 2 解答
我们对两边取自然对数：
\[ \ln y = \ln x + \ln e^{-x^2} \]化简项 \( \ln e^{-x^2} \)：
\[ \ln y = \ln x - x^2 \]对两边关于 \( x \) 求导：
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x} - 2x \]所有项同乘以 \( y \)：
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) y \]代入 \( y = x e^{-x^2} \)：
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x} - 2x \right) x e^{-x^2} \]化简：
\[ y' = e^{-x^2} - 2x^2 e^{-x^2} \]例题 3
求由下式给出的函数 \( y \) 的导数 \( y' \)：
\[ y = 3x^2 e^{-x} \]例题 3 解答
我们对两边取自然对数：
\[ \ln y = \ln 3 + \ln(x^2) + \ln e^{-x} \]化简各项：
\[ \ln y = \ln 3 + 2 \ln x - x \]对两边关于 \( x \) 求导：
\[ \dfrac{y'}{y} = 0 + \dfrac{2}{x} - 1 \]所有项同乘以 \( y \)：
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) y \]代入 \( y = 3x^2 e^{-x} \)：
\[ y' = \left( \dfrac{2}{x} - 1 \right) 3x^2 e^{-x} \]改写为：
\[ y' = 3x(2 - x) e^{-x} \]注意：作为练习，请使用常规的求导乘积法则对上述函数求导并比较结果。
例题 4
求由下式给出的函数 \( y \) 的导数 \( y' \)：
\[ y = (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]例题 4 解答
对两边取自然对数并展开表达式：
\[ \ln y = 2 \ln(1 - x) + 4 \ln(x + 1) \]对两边关于 \( x \) 求导：
\[ \dfrac{y'}{y} = -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \]所有项同乘以 \( y \)：
\[ y' = \left( -2 \left( \dfrac{1}{1 - x} \right) + 4 \left( \dfrac{1}{x + 1} \right) \right) (1 - x)^2 (x + 1)^4 \]化简：
\[ y' = -2(1 - x)(x + 1)^3 + 4(x + 1)^3(1 - x)^2 \]注意：请使用常规的乘积法则和链式法则直接对原函数求导并验证结果。
例题 5
求由下式定义的函数 \( y \) 的导数 \( y' \)：
\[ y = \dfrac{\tan x}{e^x} \]例题 5 解答
对两边取自然对数：
\[ \ln y = \ln(\tan x) - \ln e^x \]化简 \( \ln e^x = x \)：
\[ \ln y = \ln(\tan x) - x \]对两边关于 \( x \) 求导：
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \]所有项同乘以 \( y \)：
\[ y' = \left( \dfrac{\sec^2 x}{\tan x} - 1 \right) \dfrac{\tan x}{e^x} \]化简：
\[ y' = \dfrac{\sec^2 x - \tan x}{e^x} \]注意：请使用商法则直接对该函数求导并验证。
例题 6
求由下式给出的函数 \( y \) 的导数 \( y' \)：
\[ y = \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]例题 6 解答
对两边取自然对数，并利用对数性质展开：
\[ \ln y = \ln(x - 2) + \ln(x + 4) - \ln(x + 1) - \ln(x + 5) \]对两边关于 \( x \) 求导：
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \]所有项同乘以 \( y \)：
\[ y' = \left( \dfrac{1}{x - 2} + \dfrac{1}{x + 4} - \dfrac{1}{x + 1} - \dfrac{1}{x + 5} \right) \dfrac{(x - 2)(x + 4)}{(x + 1)(x + 5)} \]化简：
\[ y' = \dfrac{2(2x^2 + 13x + 29)}{(x + 1)^2 (x + 5)^2} \]注意：请直接使用商法则来比较结果。
例题 7
利用对数求导法证明乘积法则 \( y = uv \)，其中 \( u \) 和 \( v \) 是关于 \( x \) 的函数。
例题 7 解答
对两边取自然对数并展开：
\[ \ln y = \ln u + \ln v \]对两边关于 \( x \) 求导：
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \]所有项同乘以 \( y \)：
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} + \dfrac{v'}{v} \right) uv \] \[ y' = u'v + v'u \]注意：所得结果即为广为人知的求导乘积法则。
例题 8
利用对数求导法证明商法则 \( y = \dfrac{u}{v} \)，其中 \( u \) 和 \( v \) 是关于 \( x \) 的函数。
例题 8 解答
对两边取自然对数，并利用对数性质展开：
\[ \ln y = \ln u - \ln v \]对两边关于 \( x \) 求导：
\[ \dfrac{y'}{y} = \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \]所有项同乘以 \( y \)：
\[ y' = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) y = \left( \dfrac{u'}{u} - \dfrac{v'}{v} \right) \dfrac{u}{v} \] \[ y' = \dfrac{u'v - v'u}{v^2} \]注意：所得结果即为广为人知的求导商法则。