\( \csc x \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \csc x \, dx \]

注意：计算上述积分有多种方法。下文所述的步骤有助于回顾三角函数和积分计算中的许多概念；同时最终结果也非常简洁。

使用 \( \csc x = \dfrac{1}{\sin x} \) 来改写积分：

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{\sin x} \, dx \]

\( \sin x \) 可以利用二倍角公式写为：

\[ \sin x = \sin\left(2 \cdot \dfrac{x}{2}\right) \]

使用三角恒等式 \( \sin(2x) = 2 \sin x \cos x \) 写出：

\[ \sin x = 2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \]

将其代入积分中：

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, dx \]

使用换元积分法：令 \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \)，从而得到 \( \dfrac{du}{dx} = \dfrac{1}{2} \cos\left(\dfrac{x}{2}\right) \) 或 \( dx = \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \)。代入积分中：

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{2 u \cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \cdot \dfrac{2}{\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

化简表达式：

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right)} \, du \]

使用三角恒等式 \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) 写出：

\[ \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - u^2 \]

代入积分中：

\[ \int \csc x \, dx = \int \dfrac{1}{u(1 - u^2)} \, du \]

使用部分分式分解将被积函数写为：

\[ \dfrac{1}{u(1 - u^2)} = \dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

代回积分并拆分：

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \int \left(\dfrac{1}{u} - \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)}\right) du \\[6pt] &= \int \dfrac{1}{u} \, du - \int \dfrac{1}{2(u + 1)} \, du - \int \dfrac{1}{2(u - 1)} \, du \end{aligned} \]

使用积分公式 \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \)：

\[ \int \csc x \, dx = \ln|u| - \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

利用对数的性质组合对数表达式（\( \ln a - \ln b - \ln c = \ln\frac{a}{bc} \) 且 \( \frac{1}{2}\ln a = \ln\sqrt{a} \)）：

\[ \begin{aligned} \int \csc x \, dx &= \ln|u| - \left(\dfrac{1}{2} \ln|u + 1| + \dfrac{1}{2} \ln|u - 1|\right) + c \\[6pt] &= \ln|u| - \ln\sqrt{|u + 1||u - 1|} + c \\[6pt] &= \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|u^2 - 1|}}\right) + c \end{aligned} \]

注意 \( |u^2 - 1| = |1 - u^2| \)，因此：

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{|u|}{\sqrt{|1 - u^2|}}\right) + c \]

代回 \( u = \sin\left(\dfrac{x}{2}\right) \)：

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|1 - \left(\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

使用三角恒等式 \( \cos^2\left(\dfrac{x}{2}\right) = 1 - \sin^2\left(\dfrac{x}{2}\right) \)：

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|}}\right) + c \]

利用 \( \sqrt{\left|\left(\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right)^2\right|} = \left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right| \) 进行化简：

\[ \int \csc x \, dx = \ln\left(\dfrac{\left|\sin\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}{\left|\cos\left(\dfrac{x}{2}\right)\right|}\right) + c \]

使用三角恒等式 \( \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x} \) 以及绝对值的性质写出最终答案：