\( \sec x \) 的积分

推导与计算

求积分：

\[ \int \sec x \, dx \]

使用 \( \sec x = \dfrac{1}{\cos x} \) 来改写积分：

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{\cos x} \, dx \]

将右侧被积函数的分子和分母同时乘以 \( \cos x \)：

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{\cos^2 x} \, dx \]

在分母中使用三角恒等式 \( \cos^2 x = 1 - \sin^2 x \) 写出：

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{\cos x}{1 - \sin^2 x} \, dx \]

使用换元积分法：令 \( u = \sin x \)，从而得到 \( du = \cos x \, dx \)。积分可以写为：

\[ \int \sec x \, dx = \int \dfrac{1}{1 - u^2} \, du \]

使用部分分式分解将被积函数写为：

\[ \dfrac{1}{1 - u^2} = \dfrac{1}{2(u + 1)} - \dfrac{1}{2(u - 1)} \]

将其代入积分中：

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u + 1} \, du - \dfrac{1}{2} \int \dfrac{1}{u - 1} \, du \]

使用积分公式 \( \displaystyle \int \dfrac{f'(x)}{f(x)} \, dx = \ln|f(x)| + c \) 得到：

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln|u + 1| - \dfrac{1}{2} \ln|u - 1| + c \]

利用性质 \( \ln a - \ln b = \ln\left(\dfrac{a}{b}\right) \) 将对数表达式组合起来：

\[ \int \sec x \, dx = \dfrac{1}{2} \ln\left(\dfrac{|u + 1|}{|u - 1|}\right) + c \]

代回 \( u = \sin x \)：