介绍了与中值定理相关的带有详细解答的问题。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
中值定理：回顾
如果函数 \( f \) 在区间 \( [a, b] \) 上连续，在 \( (a, b) \) 上可导，则在区间 \( (a, b) \) 内至少存在一个实数 \( c \)，使得：
\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]中值定理表达了曲线在 \( x = c \) 处的切线斜率与通过点 \( (a, f(a)) \) 和 \( (b, f(b)) \) 的曲线割线斜率之间的关系。
带有详细解答的问题
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问题 1
求一个值 \( c \)，使得对于以下函数满足中值定理的结论：
\[ f(x) = -2x^3 + 6x - 2 \]在区间 \( [-2, 2] \) 上。
显示问题 1 的解答
\( f(x) \) 是多项式函数，在所有实数上都连续且可导。让我们在 \( x = -2 \) 和 \( x = 2 \) 处求 \( f(x) \) 的值：
\[ f(-2) = -2(-2)^3 + 6(-2) - 2 = 2 \] \[ f(2) = -2(2)^3 + 6(2) - 2 = -6 \]计算 \( \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \)：
\[ \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} = \dfrac{-6 - 2}{2 - (-2)} = \dfrac{-8}{4} = -2 \]我们现在求 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = -6x^2 + 6 \]我们现在根据 \( f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \) 建立方程：
\[ -6c^2 + 6 = -2 \]求解 \( c \) 得到 2 个解：
\[ -6c^2 = -8 \implies c^2 = \dfrac{8}{6} = \dfrac{4}{3} \] \[ c = \pm \sqrt{\dfrac{4}{3}} = \pm \dfrac{2}{\sqrt{3}} = \pm \dfrac{2\sqrt{3}}{3} \]下面展示了 \( f \) 的图像、一条割线以及对应于所找到的两个解的两条切线。根据中值定理，由于它们的斜率相等，割线和两条切线是平行的。
问题 2
利用中值定理证明，对于任意两个实数 \( a \) 和 \( b \)：
\[ |\cos a - \cos b| \le |a - b| \]显示问题 2 的解答
函数 \( f(x) = \cos x \) 在所有实数上都连续且可导。在 \( a \) 和 \( b \) 之间的区间上应用中值定理（假设 \( a \neq b \)）：
\[ \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} = f'(c) \]其中 \( c \) 介于 \( a \) 和 \( b \) 之间。由于 \( f'(x) = -\sin x \)，我们有：
\[ \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} = -\sin c \]两边取绝对值：
\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} \right| = |-\sin c| = |\sin c| \]由于对于任意实数 \( c \)，有 \( |\sin c| \le 1 \)，我们有：
\[ \left| \dfrac{\cos a - \cos b}{a - b} \right| \le 1 \]根据绝对值的性质，\( \left| \dfrac{x}{y} \right| = \dfrac{|x|}{|y|} \)：
\[ \dfrac{|\cos a - \cos b|}{|a - b|} \le 1 \]两边乘以 \( |a - b| \) 得到：
\[ |\cos a - \cos b| \le |a - b| \]注：如果 \( a = b \)，不等式显然成立，因为 \( 0 \le 0 \)。