中值定理是微积分中最重要的定理之一。本文通过示例和图形对其进行了讨论。学完本教程后，你可能想尝试解决与中值定理相关的问题。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
中值定理
设 \( f(x) \) 是闭区间 \( [a, b] \) 上的连续函数，且在开区间 \( (a, b) \) 上可导。那么在区间 \( (a, b) \) 内至少存在一个 \( x \) 的值 \( c \)，使得：
\[ f'(c) = \dfrac{f(b) - f(a)}{b - a} \]或者
\[ f(b) - f(a) = f'(c)(b - a) \]换句话说，曲线 \( f \) 在 \( c \) 处的切线与通过点 \( (a, f(a)) \) 和 \( (b, f(b)) \) 的割线具有相等的斜率，因此它们是平行的。
中值定理应用示例
点击每个例题以查看其详细的分步解答。
例题 1
利用中值定理求出区间 \( [1, 5] \) 中的 \( x \) 值 \( c \)，使得在点 \( (c, f(c)) \) 处对曲线 \( f(x) = -x^2 + 7x - 6 \) 所作的切线与通过点 \( (1, f(1)) \) 和 \( (5, f(5)) \) 的割线平行。
显示例题 1 的解答
在点 \( (c, f(c)) \) 处的切线斜率由下式给出：
\[ f'(c) \]其中 \( f' \) 是第一导数。通过 \( (1, f(1)) \) 和 \( (5, f(5)) \) 的割线斜率由下式给出：
\[ \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]为了使切线与割线平行，它们的斜率必须相等，因此：
\[ f'(c) = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} \]函数 \( f \) 是多项式（二次）函数，因此在区间 \( [1, 5] \) 上连续且可导，所以中值定理预测存在至少一个 \( x (= c) \) 的值使得上述等式成立。
一阶导数是：
\[ f'(x) = -2x + 7 \]曲线在 \( x = c \) 处的切线斜率 \( m_1 \) 为：
\[ m_1 = f'(c) = -2c + 7 \]通过点 \( (1, f(1)) \) 和 \( (5, f(5)) \) 的割线斜率 \( m_2 \) 为：
\[ m_2 = \dfrac{f(5) - f(1)}{5 - 1} = \dfrac{4 - 0}{4} = 1 \]令 \( m_1 = m_2 \) 得到方程：
\[ -2c + 7 = 1 \implies -2c = -6 \implies c = 3 \]以图形方式检查答案：
切点位于 \( x = c \) 处，即 \( (3, f(3)) = (3, 6) \)。
切线方程：
\[ y - 6 = 1(x - 3) \implies y = x + 3 \]下面的图 2 展示了给定函数的图像以及 \( f \) 曲线切线的图像。切线与割线斜率相等，因而是平行的。
注：满足中值定理的 \( x (= c) \) 值可能不止一个，正如下面的例题 2 所示。
例题 2
利用中值定理求出区间 \( [0, 3] \) 中的所有 \( x \) 值，使得在曲线 \( f(x) = x^3 - 5x^2 + 7x + 1 \) 上的点 \( (c, f(c)) \) 处的切线平行于通过点 \( (0, f(0)) \) 和 \( (3, f(3)) \) 的割线。
显示例题 2 的解答
函数 \( f \) 是多项式函数，因此在区间 \( [0, 3] \) 上连续且可导，所以中值定理预测存在至少一个 \( x (= c) \) 的值，使得曲线在 \( x = c \) 处的切线与割线平行且斜率相等。
一阶导数是：
\[ f'(x) = 3x^2 - 10x + 7 \]在 \( x = c \) 处的切线斜率 \( m_1 \) 为：
\[ m_1 = f'(c) = 3c^2 - 10c + 7 \]通过点 \( (0, f(0)) \) 和 \( (3, f(3)) \) 的割线斜率 \( m_2 \) 为：
\[ m_2 = \dfrac{f(3) - f(0)}{3 - 0} = \dfrac{4 - 1}{3} = \dfrac{3}{3} = 1 \]为了使曲线在 \( x = c \) 处的切线与通过 \( (0, f(0)) \) 和 \( (3, f(3)) \) 的割线平行，它们的斜率必须相等：
\[ 3c^2 - 10c + 7 = 1 \]可以写为：
\[ 3c^2 - 10c + 6 = 0 \]使用求根公式求解得到两个解：
\[ c = \dfrac{-(-10) \pm \sqrt{(-10)^2 - 4(3)(6)}}{2(3)} = \dfrac{10 \pm \sqrt{100 - 72}}{6} = \dfrac{10 \pm \sqrt{28}}{6} = \dfrac{10 \pm 2\sqrt{7}}{6} = \dfrac{5 \pm \sqrt{7}}{3} \]计算十进制近似值：
\[ c_1 = \dfrac{5 - \sqrt{7}}{3} \approx 0.78 \quad \text{且} \quad c_2 = \dfrac{5 + \sqrt{7}}{3} \approx 2.55 \]以图形方式检查答案：
下面的图 3 展示了给定函数的图像以及平行于通过点 \( A(0, f(0)) \) 和 \( B(3, f(3)) \) 的割线的两条切线的图像。
