使用一阶导数最大化直角三角形中内接矩形的面积。该问题及其详细解答呈现如下。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
问题与解答
BDEF 是内接于边长分别为 40 和 30 的直角三角形 ABC 中的一个矩形。求矩形 BDEF 的尺寸，使其面积最大。
显示问题解答
设矩形的边长 BF 为 \( y \)，宽度 BD 为 \( x \)。直角三角形的面积由下式给出：
\[ \frac{1}{2} \times 40 \times 30 = 600 \]直角三角形的面积也可以计算为三角形 BEC 和三角形 BEA 面积的总和（由矩形分割）。因此：
\[ 600 = \frac{1}{2} \times 40 \times y + \frac{1}{2} \times 30 \times x \]设 \( A \) 为矩形的面积。因此：
\[ A = y \times x \]我们现在使用第一个方程用 \( x \) 表示 \( y \)：
\[ y = \frac{600 - 15x}{20} \]将 \( y \) 代入 \( A \) 中，将面积表示为 \( x \) 的函数：
\[ A(x) = \frac{x(600 - 15x)}{20} \]对 \( A(x) \) 进行展开表明，\( A(x) \) 是一个二次项系数为负的二次函数，因此它具有最大值：
\[ A(x) = -\frac{3}{4}x^2 + 30x \]\( A(x) \) 作为 \( x \) 函数的图像如下所示。正如在下面进行分析验证的那样，\( A(x \) 在 \( x = 20 \) 时取得最大值：
我们现在计算 \( A(x) \) 的一阶导数：
\[ A'(x) = -\frac{3}{2}x + 30 \]令 \( A'(x) = 0 \) 并求解 \( x \)：
\[ -\frac{3}{2}x + 30 = 0 \implies x = 20 \]很容易检查得出，当 \( x < 20 \) 时 \( A'(x) \) 为正，当 \( x > 20 \) 时 \( A'(x) \) 为负，这证实了 \( A(x) \) 在 \( x = 20 \) 处取得最大值。
最大面积由 \( A(20) \) 给出：
\[ A(20) = -\frac{3}{4} \times 20^2 + 30 \times 20 = 300 \]我们现在使用面积公式求出 \( y \)：
\[ A = 300 = x \times y \implies y = \frac{300}{20} = 15 \]结论：使矩形面积最大化的尺寸为 \( x = 20 \) 和 \( y = 15 \)。