使用一阶导数最大化三角形中内接矩形的面积。该优化问题及其详细解答呈现如下。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
问题
OAB 是一个给定顶点的三角形。求内接于该三角形中面积最大的矩形的尺寸，使得该矩形的一条边位于三角形的边 OA 上。
显示问题解答
在下图展示的三角形内部，内接有一个宽度为 \( W \) 且长度为 \( L \) 的矩形，其顶部顶点位于三角形的边上。我们首先求出仅关于 \( x \) 的矩形面积公式。
过 OB 的直线的斜率 \( m_1 \) 为：
\[ m_1 = \frac{12 - 0}{6 - 0} = 2 \]设 \( (x, y) \) 为矩形左上角顶点的坐标。因此：
\[ m_1 = 2 = \frac{y - 0}{x - 0} = \frac{y}{x} \]因此，矩形的宽度 \( W \) 为：
\[ W = y = 2x \]过 AB 的直线（从 \( (6, 12) \) 到 \( (10, 0) \)）的斜率 \( m_2 \) 为：
\[ m_2 = \frac{0 - 12}{10 - 6} = \frac{-12}{4} = -3 \]如果矩形右上角顶点的坐标为 \( (x + L, y) \)，它位于过点 \( (10, 0) \) 的直线 AB 上：
\[ m_2 = -3 = \frac{y - 0}{(x + L) - 10} \]求解 \( y \)：
\[ y = -3(x + L - 10) = -3(x + L) + 30 \]由于 \( y = W = 2x \)，我们将关于 \( y \) 的两个表达式相等：
\[ 2x = -3(x + L) + 30 \]求解 \( L \)：
\[ 2x = -3x - 3L + 30 \implies 3L = 30 - 5x \implies L = 10 - \frac{5}{3}x \]矩形的面积 \( A \) 为：
\[ A = W \cdot L = 2x \left(10 - \frac{5}{3}x\right) = -\frac{10}{3}x^2 + 20x \]\( A \) 是形如 \( ax^2 + bx + c \) 的关于 \( x \) 的二次函数。由于其二次项系数 \( a = -\dfrac{10}{3} \) 为负，它在一阶导数 \( A'(x) \) 的临界点处取得最大值。
计算一阶导数：
\[ A'(x) = -\frac{20}{3}x + 20 \]令 \( A'(x) = 0 \) 以求临界点：
\[ -\frac{20}{3}x + 20 = 0 \implies x = 3 \]因此，矩形的面积 \( A \) 在 \( x = 3 \) 处取得最大值，其尺寸为：
- \( W = 2x = 2(3) = 6 \)
- \( L = 10 - \frac{5}{3}(3) = 10 - 5 = 5 \)
最大面积为 \( A = 6 \times 5 = 30 \)。