使用一阶导数最大化圆中内接三角形的面积。下面呈现了一个带有详细解答的优化问题。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
问题
在下图所示中，三角形 ABC 内接于一个圆心为 O、半径为 \( r \) 的圆中。对于圆的常数半径 \( r \)，点 B 沿圆滑动，使得 ABC 的面积发生变化。求边 AB 和 CB 的长度，使得三角形 ABC 的面积最大。
显示问题解答
由于圆心 O 位于三角形的边 AC 上，因此 AC 是圆的直径，且三角形 ABC 是一个直角三角形 （泰勒斯定理）。它的直角在 B 点，其斜边 AC 的长度等于 \( 2r \)（见下图）。
三角形的面积 \( S \) 由下式给出：
\[ S = \frac{1}{2} AB \times CB \]利用角 \( t \)，可以将 \( AB \) 和 \( CB \) 表示为：
\[ AB = AC \cos t \quad \text{且} \quad CB = AC \sin t \]将 \( AB \) 和 \( CB \) 代入面积公式中：
\[ S = \frac{1}{2} AC^2 \cos t \sin t \]利用三角恒等式 \( \sin(2t) = 2 \sin t \cos t \)，我们可以将面积 \( S \) 表示为：
\[ S = \frac{1}{4} AC^2 \sin(2t) \]由于半径 \( r \) 是常数，直径的长度 \( AC = 2r \) 也是常数。因此，当点 B 沿圆滑动时，面积仅取决于角 \( t \)。为了求出使 \( S \) 取得最大值的 \( t \)，我们计算关于 \( t \) 的一阶导数：
\[ \frac{dS}{dt} = \frac{1}{4} AC^2 \cdot 2 \cos(2t) = \frac{1}{2} AC^2 \cos(2t) \]令 \( \frac{dS}{dt} \) 等于零以寻找驻点：
\[ \frac{1}{2} AC^2 \cos(2t) = 0 \implies \cos(2t) = 0 \]当点 B 沿圆滑动时，角 \( t \) 从 \( 0 \) 变到 \( 90^\circ \)。在区间 \( (0^\circ, 90^\circ) \) 内，\( \cos(2t) = 0 \) 的解为：
\[ 2t = 90^\circ \implies t = 45^\circ \]当 \( t \) 从 \( 0^\circ \) 变到 \( 45^\circ \) 时，\( 2t \) 从 \( 0^\circ \) 变到 \( 90^\circ \)，且 \( \frac{dS}{dt} \) 为正。当 \( t \) 从 \( 45^\circ \) 变到 \( 90^\circ \) 时，\( 2t \) 从 \( 90^\circ \) 变到 \( 180^\circ \)，且 \( \frac{dS}{dt} \) 为负。因此，\( t = 45^\circ \) 给出了面积 \( S \) 的最大值。
当 \( t = 45^\circ \) 时，边 \( AB \) 和 \( CB \) 的长度为：
\[ AB = AC \cos(45^\circ) = 2r \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} \] \[ CB = AC \sin(45^\circ) = 2r \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = r\sqrt{2} \]结论：当 \( t = 45^\circ \) 时面积最大，这意味着内接直角三角形是一个等腰直角三角形，其边长为 \( AB = CB = r\sqrt{2} \)。