使用一阶导数来最大化（优化）电子电路中输送给负载的功率。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
问题
在下图所示的电子电路中，电压 \( E \)（单位：伏特）和电阻 \( r \)（单位：欧姆）是常数。\( R \) 是负载的电阻。在此类电路中，电流 \( i \) 由下式给出：
\[ i = \dfrac{E}{r + R} \]输送给负载 \( R \) 的功率 \( P \) 由下式给出：
\[ P = R i^2 \]已知 \( r \) 和 \( R \) 均为正数，请确定 \( R \) 的值，使得输送给 \( R \) 的功率 \( P \) 最大。
显示问题解答
我们首先通过将 \( i = \dfrac{E}{r + R} \) 代入 \( P = R i^2 \) 中，将功率 \( P \) 表示为 \( E \)、\( r \) 以及变量 \( R \) 的函数：
\[ P(R) = \frac{R E^2}{(r + R)^2} \]现在我们使用商法则对 \( P \) 关于变量 \( R \) 求导：
\[ \frac{dP}{dR} = \frac{E^2 \left[(r + R)^2 - R \cdot 2(r + R)\right]}{(r + R)^4} = \frac{E^2 \left[(r + R) - 2R\right]}{(r + R)^3} = \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} \]为了找出 \( P \) 是否存在局部最大值，我们通过令 \( \dfrac{dP}{dR} = 0 \) 并求解 \( R \) 来寻找临界点：
\[ \frac{E^2 (r - R)}{(r + R)^3} = 0 \implies R = r \]由于 \( r \) 和 \( R \) 均为正数（电阻），\( \dfrac{dP}{dR} \) 在 \( R = r \) 处仅有一个临界点。此外，当 \( R < r \) 时，\( \dfrac{dP}{dR} \) 为正且 \( P \) 增加；当 \( R > r \) 时，\( \dfrac{dP}{dR} \) 为负且 \( P \) 减少。因此，\( P \) 在 \( R = r \) 处取得绝对最大值。
将 \( R = r \) 代入 \( P(R) \) 中即可求出最大功率：
\[ P(r) = \frac{r E^2}{(r + r)^2} = \frac{r E^2}{(2r)^2} = \frac{r E^2}{4r^2} = \frac{E^2}{4r} \]因此，为了实现从电子电路到负载 \( R \) 的最大功率传输，负载电阻 \( R \) 必须等于内阻 \( r \)。
例如，当 \( E = 5 \) 伏特且 \( r = 100 \) 欧姆时，\( P(R) \) 的曲线图如下所示。它清楚地表明当 \( R = 100 \) 欧姆（\( R = r \)）时，\( P \) 达到最大值。
让我们进一步分析 \( P(R) \)：如果 \( R \) 趋近于零，\( P(R) \) 趋近于零。如果 \( R \) 无限增大，由于水平轴是 \( P(R) \) 图像的水平渐近线，\( P(R) \) 也会趋近于零。因此，\( P(R) \) 在有限值 \( R = r \) 处取得最大值。