如何使用体积的一阶导数来最大化盒子的体积。一个带有解答的体积优化问题。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
问题
有一张 12 英寸乘 10 英寸的金属薄板，用于制作一个无盖盒子。从每个角切下边长相等的正方形 \( x \)，然后折起边来制作盒子。求使体积最大的 \( x \) 的值。
显示问题解答
我们首先使用长方体体积公式：
\[ V = L \times W \times H \]要制作的盒子尺寸如下：
- \( L = 12 - 2x \)
- \( W = 10 - 2x \)
- \( H = x \)
现在我们将盒子的体积写成关于 \( x \) 的函数：
\[ V(x) = x(12 - 2x)(10 - 2x) = 4x(6 - x)(5 - x) = 4x(x^2 - 11x + 30) = 4x^3 - 44x^2 + 120x \]现在我们确定函数 \( V(x) \) 的定义域。盒子的所有尺寸必须为非负数：
\[ x \ge 0, \quad 12 - 2x \ge 0 \implies x \le 6, \quad 10 - 2x \ge 0 \implies x \le 5 \]求解这个不等式组给出 \( V(x) \) 的定义域：
\[ 0 \le x \le 5 \]现在我们求 \( V(x) \) 的一阶导数：
\[ \frac{dV}{dx} = \frac{d}{dx}\left(4(3x^2 - 22x + 30)\right) = 4(3x^2 - 22x + 30) = 12x^2 - 88x + 120 \]为了求临界点，通过求解一元二次方程 \( 3x^2 - 22x + 30 = 0 \) 来令 \( \dfrac{dV}{dx} = 0 \)：
\[ x = \frac{22 \pm \sqrt{(-22)^2 - 4(3)(30)}}{2(3)} = \frac{22 \pm \sqrt{484 - 360}}{6} = \frac{22 \pm \sqrt{124}}{6} \approx \frac{22 \pm 11.1355}{6} \]这产生两个解：
\[ x_1 \approx \frac{33.1355}{6} \approx 5.52, \quad x_2 \approx \frac{10.8645}{6} \approx 1.81 \]值 \( x \approx 5.52 \) 超出了定义域 \( [0, 5] \)，因此被舍弃。因此，定义域内唯一的临界点是 \( x \approx 1.81 \)。
现在我们在临界点和定义域的端点处评估 \( V(x) \)：
- \( V(0) = 0 \)
- \( V(5) = 0 \)
- \( V(1.81) \approx 4(1.81)(1.81^2 - 11(1.81) + 30) \approx 96.77 \) 立方英寸
因此，当 \( x \approx 1.81 \) 英寸时，\( V(x) \) 达到最大值。函数 \( V(x) \) 的图像如下所示，证实在 \( x = 1.81 \) 附近存在最大值。
