使用一阶导数最小化金字塔表面积
优化问题

该问题先前已通过图形法解决。此处我们使用一阶导数进行更严格的求解。

我们首先使用金字塔体积公式写出方程：

\[ \frac{1}{3} h x^2 = 1000 \]

该金字塔由 4 个三角形侧面和 1 个正方形底面组成。一个三角形侧面的面积由下式给出：

\[ s = \frac{1}{2} H x \]

斜高 \( H \) 由勾股定理给出：

\[ H = \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} \]

金字塔的总表面积 \( S \) 是 4 个三角形面积与底面积 \( x^2 \) 的总和：

\[ S = 4\left(\frac{1}{2} H x\right) + x^2 = 2x \sqrt{h^2 + \left(\frac{x}{2}\right)^2} + x^2 \]

从体积方程 \( \dfrac{1}{3} h x^2 = 1000 \) 中解出 \( h \)：

\[ h = \frac{3000}{x^2} \]

将 \( h \) 代入表面积公式中，将 \( S \) 表示为仅关于 \( x \) 的函数：

\[ S(x) = 2x \sqrt{\left(\frac{3000}{x^2}\right)^2 + \frac{x^2}{4}} + x^2 = 2x \sqrt{\frac{9 \times 10^6}{x^4} + \frac{x^2}{4}} + x^2 \] \[ S(x) = 2x \sqrt{\frac{36 \times 10^6 + x^6}{4x^4}} + x^2 = 2x \cdot \frac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{2x^2} + x^2 \] \[ S(x) = \frac{\sqrt{36 \times 10^6 + x^6}}{x} + x^2 \]

令常数 \( k = 36 \times 10^6 \)，并对 \( S \) 关于 \( x \) 求导：

\[ \frac{dS}{dx} = \frac{x \cdot \frac{1}{2}(k + x^6)^{-1/2}(6x^5) - \sqrt{k + x^6}}{x^2} + 2x \] \[ \frac{dS}{dx} = \frac{\frac{3x^6}{\sqrt{k + x^6}} - \sqrt{k + x^6}}{x^2} + 2x = \frac{3x^6 - (k + x^6)}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x = \frac{2x^6 - k}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x \]

对于 \( x > 0 \)，\( \dfrac{dS}{dx} \) 只有一个零点，左侧为负，右侧为正。这确认了通过令 \( \dfrac{dS}{dx} = 0 \) 定位的值能使 \( S \) 取得最小值：

\[ \frac{2x^6 - k}{x^2 \sqrt{k + x^6}} + 2x = 0 \implies \frac{2x^6 - k}{x^2} = -2x \sqrt{k + x^6} \]

令 \( u = x^3 \)（因此 \( u^2 = x^6 \)）并进行代换：

\[ \frac{2u^2 - k}{u^{2/3}} \quad \text{或直接化简：} \] \[ 2x^6 - k = -2x^3 \sqrt{k + x^6} \implies 2u^2 - k = -2u \sqrt{k + u^2} \]

两边平方：

\[ (2u^2 - k)^2 = 4u^2(k + u^2) \implies 4u^4 + k^2 - 4ku^2 = 4ku^2 + 4u^4 \] \[ k^2 - 4ku^2 = 4ku^2 \implies k^2 = 8ku^2 \implies u^2 = \frac{k}{8} \]

由于 \( u > 0 \)：

\[ u = \sqrt{\frac{k}{8}} \implies x^3 = \sqrt{\frac{k}{8}} \implies x = \left(\frac{k}{8}\right)^{1/6} \]

代入 \( k = 36 \times 10^6 \)：

\[ x = \left(\frac{36 \times 10^6}{8}\right)^{1/6} = (4,500,000)^{1/6} \approx 16.19 \; \text{cm} \]

（注：保留一位小数舍入为 \( 16.2 \; \text{cm} \)。）