使用一阶导数来最小化（优化）两点之间行走的距离。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
问题
下图展示了威尔逊（Wilson）每天早晨从河里取水送到农场时所走的路径。请帮助威尔逊最小化从房子到农场所走的总距离。
显示问题解答
两种方法 建议在下方用于求解此问题。
方法一：微积分（一阶导数）
在下图所示中，我们求出距离 \( d \) 和 \( D \)，将它们相加，然后最小化总距离。
总距离 \( T \) 由下式给出：
\[ T = d + D = \sqrt{x^2 + 25} + \sqrt{(20 - x)^2 + 100} \]我们现在求 \( T \) 关于 \( x \) 的一阶导数 \( \dfrac{dT}{dx} \)，检查 \( T \) 是否具有极小值，并求出使 \( T \) 最小化的 \( x \) 的值：
\[ \frac{dT}{dx} = \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} - \frac{20 - x}{\sqrt{(20 - x)^2 + 100}} \]\( \dfrac{dT}{dx} \) 的图像如下所示。在大约 \( x = 6.67 \) 处，一阶导数等于零；在此值下方为负，在此值上方为正。因此，\( T \) 在 \( x = 6.67 \) 附近取得极小值。
令 \( \dfrac{dT}{dx} = 0 \) 以求临界值：
\[ \frac{x}{\sqrt{x^2 + 25}} = \frac{20 - x}{\sqrt{(20 - x)^2 + 100}} \]交叉相乘：
\[ x \sqrt{(20 - x)^2 + 100} = (20 - x) \sqrt{x^2 + 25} \]两边平方：
\[ x^2 \left((20 - x)^2 + 100\right) = (20 - x)^2 (x^2 + 25) \] \[ x^2(400 - 40x + x^2 + 100) = (400 - 40x + x^2)(x^2 + 25) \] \[ x^2(x^2 - 40x + 500) = (x^2 - 40x + 400)(x^2 + 25) \] \[ x^4 - 40x^3 + 500x^2 = x^4 + 25x^2 - 40x^3 - 1000x + 400x^2 + 10000 \] \[ 500x^2 = 425x^2 - 1000x + 10000 \implies 75x^2 + 1000x - 10000 = 0 \]将二次方程两边同除以 25：
\[ 3x^2 + 40x - 400 = 0 \]使用求根公式求解 \( x \) 并选择正值：
\[ x = \frac{-40 + \sqrt{40^2 - 4(3)(-400)}}{2(3)} = \frac{-40 + \sqrt{1600 + 4800}}{6} = \frac{-40 + \sqrt{6400}}{6} = \frac{-40 + 80}{6} = \frac{40}{6} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \; \text{km} \]方法二：几何投影
我们在河的另一侧构建一个“虚拟房子”（对称点）\( H \)。为了使总距离 \( d + D \) 最小，点 \( H \)、\( O \) 和 \( F \) 必须共线，因为两点之间最短的距离是直线。为了使这些点共线，角 \( HOH' \) 和 \( FOF' \) 的大小必须相等，这意味着它们的正切值相等。
用 \( x \) 表示两个角的正切值：
\[ \tan(HOH') = \frac{5}{x} \] \[ \tan(FOF') = \frac{10}{20 - x} \]令正切值相等：
\[ \frac{5}{x} = \frac{10}{20 - x} \]求解 \( x \)：
\[ 5(20 - x) = 10x \implies 100 - 5x = 10x \implies 15x = 100 \implies x = \frac{100}{15} = \frac{20}{3} \approx 6.67 \; \text{km} \]