本文提出了一个在周长恒定的情况下最大化（优化）矩形面积的问题。为了找到该问题的解析解，开发了一种基于函数导数和微积分定理的分析方法。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
问题
你决定建造一个周长为 \( 400 \; \text{mm} \) 且面积最大的矩形。求该矩形的长度和宽度。
显示问题解答
设 \( x \)（宽度，距离 \( DC \））和 \( y \)（长度，距离 \( DA \)\) 为矩形的尺寸。矩形的面积 \( A \) 和周长 \( P \) 由下式给出：
\[ A = xy \] \[ P = 400 = 2x + 2y \]从周长方程中解出 \( y \)：
\[ y = 200 - x \]将 \( y = 200 - x \) 代入面积公式中，得到面积关于 \( x \) 的函数：
\[ A(x) = x(200 - x) = -x^2 + 200x \]函数 \( A(x) \) 的定义域是闭区间 \( [0, 200] \)，因为 \( x \ge 0 \) 且 \( y = 200 - x \ge 0 \)（这意味着 \( x \le 200 \)\）。
为了求出使 \( A \) 最大化的 \( x \) 的值，我们计算一阶导数 \( \dfrac{dA}{dx} \)：
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 200 \]令 \( \dfrac{dA}{dx} = 0 \) 以求临界点：
\[ -2x + 200 = 0 \implies x = 100 \]在定义域的端点处，\( A(0) = 0 \) 且 \( A(200) = 0 \)。二阶导数为：
\[ \frac{d^2A}{dx^2} = -2 \]由于二阶导数是负数（\( -2 < 0 \)），根据二阶导数测试，临界点 \( x = 100 \) 对应于局部最大值（这也是闭区间上的绝对最大值）。
相应的长度为 \( y = 200 - 100 = 100 \; \text{mm} \)，最大面积为 \( A(100) = 100 \times 100 = 10000 \; \text{mm}^2 \)。因此，选择宽度 \( x = 100 \; \text{mm} \) 且长度 \( y = 100 \; \text{mm} \) 的矩形（即正方形）可产生最大可能的面积。
练习题
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练习题 1： 求解与上面相同的问题，但周长等于 \( 500 \; \text{mm} \)。
显示练习题 1 的解答
使用周长公式 \( 2x + 2y = 500 \implies y = 250 - x \)。面积函数为：
\[ A(x) = x(250 - x) = -x^2 + 250x \]求一阶导数：
\[ \frac{dA}{dx} = -2x + 250 = 0 \implies x = 125 \; \text{mm} \]长度为 \( y = 250 - 125 = 125 \; \text{mm} \)。
结论：宽度 \( x = 125 \; \text{mm} \) 且长度 \( y = 125 \; \text{mm} \)（正方形）。