本文提出了一个最小化（优化）从一点步行到另一点所需时间的问题。为了找到该问题的解析解，开发了一种使用导数及其他微积分概念和定理的分析方法。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
问题
你决定从 A 点（见下图）步行到 C 点。在穿过 BC 的道路以南，地形复杂，你只能以 \( 3 \; \text{km/hr} \) 的速度步行。然而，沿着 BC 道路，你可以以 \( 5 \; \text{km/hr} \) 的速度步行。从 A 点到道路的距离是 \( 5 \; \text{km} \)。从 B 到 C 的距离是 \( 10 \; \text{km} \)。你应该遵循什么路径才能以最短（最小）可能的时间到达 C 点？
显示问题解答
让我们假设你沿着直线从 A 到 P 以及从 P 到 C 行走。设距离 BP 等于 \( x \)。利用勾股定理，我们可以表示出距离 AP 和 PC：
我们现在求步行距离 AP 所需的时间 \( t_1 \)（\( \text{时间} = \text{距离} / \text{速度} \）：
\[ t_1 = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} \]步行距离 PC 所需的时间 \( t_2 \) 由下式给出：
\[ t_2 = \frac{10 - x}{5} \]总时间 \( t \) 通过将 \( t_1 \) 和 \( t_2 \) 相加得到：
\[ t(x) = \frac{\sqrt{5^2 + x^2}}{3} + \frac{10 - x}{5} \]函数 \( t(x) \) 的定义域是闭区间 \( [0, 10] \)。对于该区间之外的 \( x \) 值（其中 P 点在 B 点左侧或 C 点右侧），总时间将会增加。
为了求出使 \( t \) 最小化的 \( x \) 值，我们计算一阶导数 \( \dfrac{dt}{dx} \)：
\[ \frac{dt}{dx} = \frac{\frac{x}{3}}{\sqrt{5^2 + x^2}} - \frac{1}{5} \]令 \( \dfrac{dt}{dx} = 0 \) 以求临界点：
\[ \frac{x}{3\sqrt{25 + x^2}} - \frac{1}{5} = 0 \implies \frac{x}{3\sqrt{25 + x^2}} = \frac{1}{5} \]交叉相乘：
\[ 5x = 3\sqrt{25 + x^2} \]两边平方：
\[ (5x)^2 = 9(25 + x^2) \implies 25x^2 = 225 + 9x^2 \]合并同类项：
\[ 16x^2 = 225 \implies x^2 = \frac{225}{16} \]求解 \( x \)（\( x > 0 \）：
\[ x = \sqrt{\frac{225}{16}} = \frac{15}{4} = 3.75 \; \text{km} \]
当 \( x < 3.75 \) 时，一阶导数 \( \dfrac{dt}{dx} \) 为负；在 \( x = 3.75 \) 时为零；当 \( x > 3.75 \) 时为正。在端点处评估 \( t(x) \)，可得 \( t(0) \approx 3.6 \; \text{hrs} \) 且 \( t(10) \approx 3.7 \; \text{hrs} \)，而在 \( x = 3.75 \) 时，\( t(3.75) \approx 3.3 \; \text{hrs} \)（最小值）。
结论：你必须步行到 P 点，使得 \( BP = 3.75 \; \text{km} \)，然后沿着道路前往 C 点，以便以最短的时间到达。
练习题
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练习题 1： 求解与上面相同的问题，但使用下图所示的修改后参数。
图 4. 练习题图示 显示练习题 1 的解答
使用带有练习题参数的相同解析导数方法：
\[ x = 6.26 \; \text{km} \quad (\text{保留两位小数}) \]