本文提供了有关函数连续性的练习题及答案，重点关注有理函数和分段函数。讨论了函数及其导数在给定点处的连续性，同时还包含连续性的图形意义与解释。
例 1：识别间断点
对于下列每个函数，它们在哪些 \( x \) 值处是不连续的？
- a) \( f(x) = \dfrac{1}{x} \)
- b) \( g(x) = \dfrac{2}{x-2} \)
- c) \( h(x) = \dfrac{x+1}{x^2-1} \)
- d) \( i(x) = \tan(x) \)
- e) \( j(x) = \dfrac{1}{\cos(x)-1} \)
- f) \( k(x) = \dfrac{x+2}{x^2+5} \)
- g) \( l(x) = \begin{cases} \dfrac{x+4}{x+4} & x \ne -4 \\ 1 & x = -4 \end{cases} \)
例 1 解答
- a) 对于 \( x = 0 \)，函数 \( f(x) \) 的分母等于 \( 0 \)，因此 \( f(x) \) 无定义且没有极限。因此，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处不连续。
- b) 对于 \( x = 2 \)，函数 \( g(x) \) 的分母等于 \( 0 \)，无定义且没有极限。函数 \( g(x) \) 在 \( x = 2 \) 处不连续。
- c) \( h(x) \) 的分母可因式分解为 \( x^2 - 1 = (x - 1)(x + 1) \)。当 \( x = 1 \) 和 \( x = -1 \) 时分母为零，此时函数无定义且没有极限。函数 \( h \) 在 \( x = 1 \) 和 \( x = -1 \) 处不连续。
- d) 对于满足 \( x = \frac{\pi}{2} + k\pi \)（其中 \( k \) 为任意整数）的所有 \( x \) 值，\( \tan(x) \) 无定义，这使其在这些值处不连续。
- e) 当 \( \cos(x) - 1 = 0 \)，即 \( x = 2k\pi \)（其中 \( k \) 为整数）时，\( j(x) \) 的分母等于零。该函数在这些点处无定义且不连续。
- f) 函数 \( k(x) \) 是两个连续函数的商，其分母 \( x^2 + 5 \) 永不等于 \( 0 \)。它对所有实数 \( x \) 都有定义，且没有间断点。
- g) 当 \( x \ne -4 \) 时，\( l(x) = \dfrac{x + 4}{x + 4} = 1 \)。由于 \( \lim_{x \to -4} l(x) = 1 = l(-4) \)，函数 \( l(x) \) 对所有实数 \( x \) 都是连续的，没有间断点。
例 2：寻找使分段函数连续的参数
求 \( b \) 的值，使得下面给出的 \( f(x) \) 是连续的：
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2+b & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]例 2 解答
当 \( x > -1 \) 时，\( f(x) = 2x^2 + b \) 是多项式函数，因此是连续的。
当 \( x < -1 \) 时，\( f(x) = -x^3 \) 是多项式函数，因此是连续的。
在 \( x = -1 \) 处：
\[ f(-1) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]考虑左极限和右极限：
\[ L_1 = \lim_{x\to -1^{-}} f(x) = -(-1)^3 = 1 \] \[ L_2 = \lim_{x\to -1^+} f(x) = 2(-1)^2 + b = 2 + b \]为了使函数 \( f \) 在 \( x = -1 \) 处连续，我们需要 \( L_2 = L_1 \)：
\[ 2 + b = 1 \implies b = -1 \]将 \( b = -1 \) 代入函数中得到：
\[ f(x) = \begin{cases} 2x^2-1 & x \ge -1 \\ -x^3 & x < -1 \end{cases} \]\( f \) 的图形如下所示，证实了其在 \( x = -1 \) 处的连续性：
例 3：函数及其导数的连续性
求 \( a \) 和 \( b \)，使得下面给出的 \( g(x) \) 及其一阶导数都是连续的：
\[ g(x) = \begin{cases} ax^2+b & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]例 3 解答
函数 \( g \) 的连续性：
- 当 \( x > 2 \) 时，\( g(x) = ax^2 + b \) 是连续的。
- 当 \( x < 2 \) 时，\( g(x) = -2x + 2 \) 是连续的。
在 \( x = 2 \) 处的极限：
\[ L_1 = \lim_{x\to 2^+} g(x) = a(2)^2 + b = 4a + b \] \[ L_2 = \lim_{x\to 2^{-}} g(x) = -2(2) + 2 = -2 \]要在 \( x = 2 \) 处连续，必须满足 \( L_1 = L_2 \)：
\[ 4a + b = -2 \]导数 \( g' \) 的连续性：
- 当 \( x > 2 \) 时，\( g'(x) = 2ax \) 是连续的。
- 当 \( x < 2 \) 时，\( g'(x) = -2 \) 是连续的。
在 \( x = 2 \) 处的导数极限：
\[ l_1 = \lim_{x\to 2^+} g'(x) = 2a(2) = 4a \] \[ l_2 = \lim_{x\to 2^{-}} g'(x) = -2 \]要使 \( g' \) 在 \( x = 2 \) 处连续，必须满足 \( l_1 = l_2 \)：
\[ 4a = -2 \implies a = -\frac{1}{2} \]将 \( a = -\frac{1}{2} \) 代入 \( 4a + b = -2 \) 中：
\[ 4\left(-\frac{1}{2}\right) + b = -2 \implies -2 + b = -2 \implies b = 0 \]因此，该函数为：
\[ g(x) = \begin{cases} -\dfrac{1}{2}x^2 & x \ge 2 \\ -2x+2 & x < 2 \end{cases} \]函数 \( g(x) \) 的图形如下所示，表明该函数及其导数（斜率）在 \( x = 2 \) 处都是连续的：
