本页面使用导数的定义展示了自然对数函数 ln(x) 的导数。我们还涵盖了形如 \( \ln(u(x)) \) 的复合函数的导数，并提供了详细的例题。
利用定义证明 ln(x) 的导数
函数 \( f \) 的导数定义为：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x+h)-f(x)}{h} \]设 \( f(x) = \ln(x) \)。则：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln(x+h) - \ln(x)}{h} = \lim_{h \to 0} \dfrac{\ln\left(\dfrac{x+h}{x}\right)}{h} \]利用对数的幂性质，我们写为：
\[ f'(x) = \lim_{h \to 0} \ln\left(1+\dfrac{h}{x}\right)^{\dfrac{1}{h}} \]令 \( y = \dfrac{h}{x} \)，从而 \( h = yx \) 且当 \( h \to 0 \) 时 \( y \to 0 \)。则：
\[ f'(x) = \lim_{y \to 0} \dfrac{1}{x} \ln\left(1+y\right)^{\dfrac{1}{y}} = \dfrac{1}{x} \ln(e) = \dfrac{1}{x} \]
公式：
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(x) = \dfrac{1}{x} \]
复合函数 \( y = \ln(u(x)) \) 的导数
使用链式法则：
链式法则公式：
\[ \dfrac{d}{dx} \ln(u(x)) = \dfrac{1}{u} \dfrac{du}{dx} \]
经典例题与解答
例题：求复合对数函数的导数
求下列函数的导数：
- \( f(x) = \ln\left(\dfrac{x^2}{x-2}\right) \)
- \( g(x) = \ln\left(\sqrt{x^3+1}\right) \)
- \( h(x) = \ln(x^2 + 2x - 5) \)
解答：
- 令 \( u(x) = \dfrac{x^2}{x-2} \)，则 \( u'(x) = \dfrac{2x(x-2) - x^2(1)}{(x-2)^2} = \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} \)。 \[ f'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\dfrac{x^2}{x-2}} \cdot \dfrac{x^2-4x}{(x-2)^2} = \dfrac{x-4}{x(x-2)} \]
- 令 \( u(x) = \sqrt{x^3+1} \)，则 \( u'(x) = \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} \)。 \[ g'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{1}{\sqrt{x^3+1}} \cdot \dfrac{3x^2}{2\sqrt{x^3+1}} = \dfrac{3x^2}{2(x^3+1)} \]
- 令 \( u(x) = x^2+2x-5 \)，则 \( u'(x) = 2x+2 \)。 \[ h'(x) = \dfrac{1}{u} u' = \dfrac{2x+2}{x^2+2x-5} \]