如何求绝对值函数的极限；文中呈现了几个示例和详细解答以及图形解释。页面底部还提供了一组带有答案的练习题。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
带有详细解答的问题
点击每个问题以查看其详细的分步解答。
问题 1
求极限：\( \displaystyle \lim_{x \to -1} \dfrac{x}{|x|} \)
显示解答
求极限的步骤为：
\[ \lim_{x \to -1} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{-1}{|-1|} = \dfrac{-1}{1} = -1 \]问题 2
计算极限：\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x}{|x|} \)
显示解答
求极限的步骤为：
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x}{|x|} = \dfrac{1}{|1|} = 1 \]问题 3
求极限：\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} \)
显示解答
回想一下：
当 \( x \ge 0 \) 时 \( |x| = x \)，当 \( x < 0 \) 时 \( |x| = -x \)
让我们计算当 \( x < 0 \) 时从 \( x = 0 \) 左侧趋近的极限，此时 \( |x| = -x \)：
\[ \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^-} \dfrac{x}{-x} = \lim_{x \to 0^-} (-1) = -1 \]让我们计算当 \( x > 0 \) 时从 \( x = 0 \) 右侧趋近的极限，此时 \( |x| = x \)：
\[ \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to 0^+} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \to 0^+} 1 = 1 \]\( x = 0 \) 左右两侧的极限不相等，因此：
\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{x}{|x|} \quad \text{不存在} \]\( f(x) = \dfrac{x}{|x|} \) 的图像如下所示，说明了 0 左右两侧的极限不相等。
问题 4
计算极限：\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{|x|} \)
显示解答
随着 \( x \) 无限制增大，\( x > 0 \)，因此 \( |x| = x \)。故：
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{x} = \lim_{x \to \infty} 1 = 1 \]问题 5
求极限：\( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{|x|} \)
显示解答
随着 \( x \) 无限制减小，\( x < 0 \)，因此 \( |x| = -x \)。故：
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{|x|} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x}{-x} = \lim_{x \to -\infty} (-1) = -1 \]问题 6
极限 \( \displaystyle \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} \) 是否存在？
显示解答
让我们分别计算从 \( -2 \) 左侧（其中 \( x \le -2 \)）和从 \( -2 \) 右侧（其中 \( x \ge -2 \)）趋近的极限。
回想一下：
如果 \( x + 2 \ge 0 \) 即 \( x \ge -2 \)，则 \( |x + 2| = x + 2 \)。
如果 \( x + 2 \le 0 \) 即 \( x \le -2 \)，则 \( |x + 2| = -(x + 2) \)。
让我们计算从 \( x = -2 \) 左侧趋近的极限：
\[ \lim_{x \to -2^-} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} \dfrac{-(x + 2)}{x + 2} = \lim_{x \to -2^-} (-1) = -1 \]让我们计算从 \( x = -2 \) 右侧趋近的极限：
\[ \lim_{x \to -2^+} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} \dfrac{x + 2}{x + 2} = \lim_{x \to -2^+} 1 = 1 \]\( x = -2 \) 左右两侧的极限不相等，因此：
\[ \lim_{x \to -2} \dfrac{|x + 2|}{x + 2} \quad \text{不存在} \]问题 7
求极限：\( \displaystyle \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \)
显示解答
在 \( x = 1 \) 处，分子和分母都等于零，因此它们有公因式 \( x - 1 \)。对分子进行因式分解：
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{|x - 1|} \]回想当 \( x \ge 1 \) 时 \( |x - 1| = x - 1 \)，当 \( x \le 1 \) 时 \( |x - 1| = -(x - 1) \)。
从 \( x = 1 \) 左侧趋近的极限：
\[ \lim_{x \to 1^-} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^-} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{-(x - 1)} = \lim_{x \to 1^-} -(x + 3) = -4 \]从 \( x = 1 \) 右侧趋近的极限：
\[ \lim_{x \to 1^+} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} = \lim_{x \to 1^+} \dfrac{(x - 1)(x + 3)}{x - 1} = \lim_{x \to 1^+} (x + 3) = 4 \]左右两侧的极限不相等，因此：
\[ \lim_{x \to 1} \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \quad \text{不存在} \]\( f(x) = \dfrac{x^2 + 2x - 3}{|x - 1|} \) 的图像如下所示，清楚地表明在 1 处的左右极限不相等。
问题 8
计算极限：\( \displaystyle \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)
显示解答
随着 \( x \) 无限制增大，\( x + 2 \) 也无限制增大，因此 \( x + 2 \ge 0 \)，故：
\[ \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{x + 2} = +\infty \]问题 9
求极限：\( \displaystyle \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \)
显示解答
随着 \( x \) 无限制减小，\( x + 2 \) 也无限制减小，因此 \( x + 2 \le 0 \)，故：
\[ \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} = \lim_{x \to -\infty} \dfrac{x^2 + 5x + 7}{-(x + 2)} = +\infty \]\( f(x) = \dfrac{x^2 + 5x + 7}{|x + 2|} \) 的图像如下所示，说明了当 \( x \) 无限制增大或减小时刻，\( y = f(x) \) 无限制增大。
练习题
计算下列极限。点击每个练习以检查答案。
练习 1
\( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{x^2}{|x|} \)
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练习 2
\( \displaystyle \lim_{x \to -6^-} \dfrac{-(x + 6)}{|x + 6|} \)
显示答案
练习 3
\( \displaystyle \lim_{x \to -6^+} \dfrac{-(x + 6)}{|x + 6|} \)
显示答案
练习 4
\( \displaystyle \lim_{x \to 3} \dfrac{x^2 - x - 6}{|x - 3|} \)