使用级数求极限

为了求极限 \( \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} \)，我们使用泰勒级数展开。

展开余弦函数的自变量：

\[ \dfrac{x}{1 - x^2} = x \left(1 + x^2 + x^4 + \cdots \right) = x + x^3 + x^5 + \cdots \]

对于较小的 \( x \)，我们将其近似为 \( \theta = x + x^3 \)。

使用泰勒级数展开 \( \cos(\theta) \)：

\[ \cos(\theta) = \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]

计算最高到 \( x^4 \) 项的 \( \theta^2 \) 和 \( \theta^4 \)：

\[ \theta^2 = (x + x^3)^2 = x^2 + 2x^4 + \cdots \] \[ \theta^4 = (x + x^3)^4 = x^4 + \cdots \]

将这些代入余弦展开式中：

\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2 + 2x^4}{2} + \dfrac{x^4}{24} = 1 - \dfrac{x^2}{2} - x^4 + \dfrac{x^4}{24} \]

化简各项：

\[ \cos(x + x^3) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24} \]

将其代回原表达式的分子中：

\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right) \approx 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{23x^4}{24}\right) \]

化简：

\[ 1 - \dfrac{1}{2}x^2 - 1 + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{23x^4}{24} = \dfrac{23x^4}{24} \]

用化简后的分子除以分母 \( x^4 \) 并化简：

\[ \dfrac{\dfrac{23x^4}{24}}{x^4} = \dfrac{23}{24} \]

因此，极限为：

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0}\dfrac{1 - \dfrac{1}{2}x^2 - \cos\left(\dfrac{x}{1 - x^2}\right)}{x^4} = \dfrac{23}{24} } \]

为了求极限 \( \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \right) \)，我们首先使用三角恒等式和泰勒级数展开。

使用三角恒等式重写表达式：

\[ \dfrac{1}{\tan^2 x} = \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} \]

因此，表达式变为：

\[ \dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{\cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} = \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} - \dfrac{2}{x^2} \]

使用泰勒级数展开 \( \cos x \) 和 \( \sin x \)：

\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} \] \[ \sin x \approx x - \dfrac{x^3}{6} \]

对上述展开式平方：

\[ \cos^2 x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right)^2 \approx 1 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \] \[ \sin^2 x \approx \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 \approx x^2 - \dfrac{x^4}{3} \]

将这些展开式代入表达式：

\[ 1 + \cos^2 x \approx 2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3} \] \[ \dfrac{1 + \cos^2 x}{\sin^2 x} \approx \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 - \dfrac{x^4}{3}} = \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \]

化简：

\[ \dfrac{2 - x^2 + \dfrac{x^4}{3}}{x^2 \left(1 - \dfrac{x^2}{3}\right)} \approx \left( \dfrac{2}{x^2} - 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \left( 1 + \dfrac{x^2}{3} \right) \]

展开并化简：

\[ \approx \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]

减去 \( \dfrac{2}{x^2} \)：

\[ \left( \dfrac{2}{x^2} - \dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) - \dfrac{2}{x^2} = -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \]

当 \( x \to 0 \) 时取极限：

\[ \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{3} + \dfrac{x^4}{9} \right) = -\dfrac{1}{3} \]

因此，极限为：

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \left(\dfrac{1}{\sin^2 x} + \dfrac{1}{\tan^2 x} - \dfrac{2}{x^2}\right) = -\dfrac{1}{3} } \]

为了求极限 \( \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} \)，我们使用泰勒级数展开。

使用泰勒级数展开分子：

\[ \pi \sin x \approx \pi\left(x - \dfrac{x^3}{6}\right), \quad \sin(\pi x) \approx \pi x - \dfrac{(\pi x)^3}{6} \]

相减：

\[ \pi \sin x - \sin(\pi x) \approx \dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6} \]

使用泰勒级数展开分母中括号内的表达式：

\[ \cos x - \cos(\pi x) \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2}\right) - \left(1 - \dfrac{(\pi x)^2}{2}\right) = \dfrac{(\pi^2 - 1)x^2}{2} \]

乘以 \( x \) 得到整个分母：

\[ x(\cos x - \cos(\pi x)) \approx \dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2} \]

构成极限比值：

\[ \dfrac{\dfrac{\pi(\pi^2 - 1)x^3}{6}}{\dfrac{(\pi^2 - 1)x^3}{2}} = \dfrac{\pi}{3} \]

因此，极限为：

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\pi \sin x - \sin(\pi x)}{x(\cos x - \cos(\pi x))} = \dfrac{\pi}{3} } \]

注意：此极限也可以通过对分子和分母求导三次，使用洛必达法则来求解。

我们将使用泰勒级数展开求极限 \( \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} \)。

有理数幂的二项式展开式由下式给出：

\[ (1 + \epsilon)^n = 1 + n\epsilon + \dfrac{n(n-1)}{2!} \epsilon^2 + \dfrac{n(n-1)(n-2)}{3!} \epsilon^3 + \cdots \]

使用二项式展开式展开 \( \sqrt{x^2 + 1} \)：

\[ \sqrt{x^2 + 1} = (1 + x^2)^{1/2} = 1 + \dfrac{x^2}{2} - \dfrac{x^4}{8} + \cdots \]

减去 \( x \) 并取自然对数：

\[ \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) = \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \]

使用泰勒级数展开对数：

\[ \ln\left(1 - x + \dfrac{x^2}{2} - \cdots\right) \approx -x + \dfrac{x^3}{6} + \cdots \]

与分子中的 \( x \) 项合并：

\[ x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x) \approx x + \left(-x + \dfrac{x^3}{6}\right) = \dfrac{x^3}{6} \]

用化简后的分子除以分母 \( x^3 \)：

\[ \dfrac{\dfrac{x^3}{6}}{x^3} = \dfrac{1}{6} \]

因此，极限为：

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{x + \ln(\sqrt{x^2 + 1} - x)}{x^3} = \dfrac{1}{6} } \]

注意：此极限也可以通过对分子和分母求导三次，使用洛必达法则来求解。

为了求极限 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \)，我们按如下步骤进行：

设 \( L \) 为要求的极限：

\[ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]

两边取自然对数以简化指数：

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right)^{\dfrac{1}{x^2}} \]

简化右侧：

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{1}{x^2} \ln \left( \dfrac{\sin x}{x}\right) \]

在 \( x = 0 \) 附近使用泰勒级数展开 \( \sin x \)：

\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \dfrac{x^5}{120} - \cdots \implies \dfrac{\sin x}{x} = 1 - \dfrac{x^2}{6} + \dfrac{x^4}{120} - \cdots \]

对于较小的 \( y \)，使用 \( \ln(1 + y) \approx y - \dfrac{y^2}{2} + \cdots \) 近似对数：

\[ \ln \left( \dfrac{\sin x}{x} \right) \approx \ln \left( 1 - \dfrac{x^2}{6} \right) \approx -\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots \]

将近似式代入极限中：

\[ \ln L = \lim_{x \to 0} \dfrac{-\dfrac{x^2}{6} - \dfrac{x^4}{180} - \cdots}{x^2} = \lim_{x \to 0} \left( -\dfrac{1}{6} - \dfrac{x^2}{180} - \cdots \right) = -\dfrac{1}{6} \]

将结果求指数以解出 \( L \)：

\[ L = e^{-\dfrac{1}{6}} \]

最后：

\[ \boxed{ L = \lim_{x \to 0} \left( \dfrac{\sin x}{x} \right)^{\dfrac{1}{x^2}} = e^{-\dfrac{1}{6}} } \]

为了求极限 \( \displaystyle \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} \)，我们使用 \( \sin x \) 和 \( \cos x \) 的泰勒级数展开。

泰勒级数展开：

\[ \sin x = x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots \] \[ \cos x = 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} - \cdots \]

展开 \( \cos(\sin x) \)：

将 \( \sin x \) 代入 \( \cos(\theta) \) 的泰勒级数中（其中 \( \theta = \sin x \)）：

\[ \cos(\sin x) = \cos\left(x - \dfrac{x^3}{6} + \cdots\right) \]

使用 \( \theta = x - \dfrac{x^3}{6} \) 展开 \( \cos(\theta) \)：

\[ \cos(\theta) = 1 - \dfrac{\theta^2}{2} + \dfrac{\theta^4}{24} - \cdots \]

计算最高到 \( x^4 \) 项的 \( \theta^2 \) 和 \( \theta^4 \)：

\[ \theta^2 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^2 = x^2 - \dfrac{x^4}{3} + \cdots \] \[ \theta^4 = \left(x - \dfrac{x^3}{6}\right)^4 = x^4 + \cdots \]

将这些代入 \( \cos(\theta) \) 的展开式中：

\[ \cos(\sin x) \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24} + \cdots \]

从 \( \cos(\sin x) \) 中减去 \( \cos x \)：

\[ \cos x \approx 1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24} + \cdots \]

相减：

\[ \cos(\sin x) - \cos x \approx \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{5x^4}{24}\right) - \left(1 - \dfrac{x^2}{2} + \dfrac{x^4}{24}\right) = \dfrac{4x^4}{24} = \dfrac{x^4}{6} \]

除以 \( x^4 \) 并取极限：

\[ \lim_{x \to 0} \dfrac{\dfrac{x^4}{6}}{x^4} = \dfrac{1}{6} \]

因此，极限为：

\[ \boxed{ \lim_{x \to 0} \dfrac{\cos(\sin x) - \cos x}{x^4} = \dfrac{1}{6} } \]