通过两种不同的方法考察了当 \( x \) 趋近于无穷大时 \( \arctan(x) \) 的极限。第一种方法基于直角三角形，第二种方法基于反函数 \( \arctan(x) \) 的定义。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
直角三角形法中的 \( \arctan(x) \)
设 \( \alpha = \arctan(x) \)，从而得到 \( \tan \alpha = x = \dfrac{x}{1} \)，并利用直角三角形中正切（tan）的定义来直观表示 \( x = \tan \alpha \)。
几何法
当 \( x \) 无限制增大时，从几何上看 \( \alpha \) 趋近于 \( \dfrac{\pi}{2} \)，因此我们写出该极限：
\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \dfrac{\pi}{2} \]代数法
我们也可以使用由下式给出的 \( \sin(\alpha) \)：
\[ \sin(\alpha) = \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} \]计算极限：
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \lim_{x \to \infty} \dfrac{x}{\sqrt{1+x^2}} = 1 \]从而得到：
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\dfrac{\pi}{2}\right) \]使用复合函数的极限：
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) \]由于 \( \dfrac{\pi}{2} \) 是一个常数，我们可以写为：
\[ \dfrac{\pi}{2} = \lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2} \]所以：
\[ \lim_{x \to \infty} \sin(\alpha) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \alpha\right) = \sin\left(\lim_{x \to \infty} \dfrac{\pi}{2}\right) \]最后，使用 \( \alpha = \arctan(x) \)：
\[ \lim_{x \to \infty} \alpha = \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2} \]Tan(x) 与 Arctan(x) 图像法
下面展示了函数 \( y = \tan x \)（蓝色）在区间 \( \left(-\dfrac{\pi}{2}, \dfrac{\pi}{2}\right) \) 上的图像，其中 \( x = \dfrac{\pi}{2} \) 和 \( x = -\dfrac{\pi}{2} \) 是垂直渐近线（蓝色虚线）。它是一个单射函数（一一对应函数），因此具有如红线所示的反函数 \( y = \arctan(x) \)。
\( y = \tan x \) 的垂直渐近线变成了反函数 \( y = \arctan(x) \) 的水平渐近线（红色虚线），根据定义，可以用极限表示如下：
\[ \lim_{x \to \infty} \arctan(x) = \dfrac{\pi}{2}, \quad \lim_{x \to -\infty} \arctan(x) = -\dfrac{\pi}{2} \]