以定理的形式介绍了函数极限的性质，并附带了一些应用示例和详细解答。
在下文中，若适用，\( C \) 表示积分常数。
极限的定理与性质
定理：如果 \( f \) 和 \( g \) 是两个函数，且 \( \lim_{x \to a} f(x) \) 和 \( \lim_{x \to a} g(x) \) 都存在，那么：
性质 1：两个函数和的极限等于它们极限的和。
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) + g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) + \lim_{x \to a} g(x) \]性质 2：两个函数差的极限等于它们极限的差。
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) - g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) - \lim_{x \to a} g(x) \]性质 3：两个函数积的极限等于它们极限的积。
\[ \lim_{x \to a} [ f(x) \times g(x) ] = \lim_{x \to a} f(x) \times \lim_{x \to a} g(x) \]性质 4：当分母的极限不等于 0 时，两个函数商的极限等于它们极限的商。
\[ \lim_{x \to a} \frac{f(x)}{g(x)} = \frac{\lim_{x \to a} f(x)}{\lim_{x \to a} g(x)} \quad \text{前提是} \quad \lim_{x \to a} g(x) \neq 0 \]性质 5：如果函数极限的 n 次方根是一个实数，则函数 n 次方根的极限等于该函数极限的 n 次方根。
\[ \lim_{x \to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\lim_{x \to a} f(x)} \]如果 \( n \) 是偶数，则 \( \lim_{x \to a} f(x) \) 必须为正数。
带有详细解答的例题
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例题 1
计算 \( \lim_{x \to -2} h(x) \)，其中 \( h(x) \) 由下式给出：
\[ h(x) = x + 5 \]显示例题 1 的解答
我们可以将 \( h(x) \) 视为 \( f(x) = x \) 和 \( g(x) = 5 \) 的和，并应用上面的定理 1：
\[ \lim_{x \to -2} h(x) = \lim_{x \to -2} x + \lim_{x \to -2} 5 \]\( x \) 和 \( 5 \) 是基本函数，其极限是已知的：
\[ \lim_{x \to -2} x = -2 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to -2} 5 = 5 \]因此：
\[ \lim_{x \to -2} h(x) = -2 + 5 = 3 \]例题 2
计算 \( \lim_{x \to 10} h(x) \)，其中 \( h(x) \) 由下式给出：
\[ h(x) = x - 7 \]显示例题 2 的解答
我们可以将 \( h(x) \) 视为 \( f(x) = x \) 和 \( g(x) = 7 \) 的差，并应用上面的定理 2：
\[ \lim_{x \to 10} h(x) = \lim_{x \to 10} x - \lim_{x \to 10} 7 \]\( x \) 和 \( 7 \) 是具有已知极限的基本函数：
\[ \lim_{x \to 10} x = 10 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to 10} 7 = 7 \]因此：
\[ \lim_{x \to 10} h(x) = 10 - 7 = 3 \]例题 3
计算 \( \lim_{x \to -5} m(x) \)，其中 \( m(x) \) 由下式给出：
\[ m(x) = 3x \]显示例题 3 的解答
设 \( m(x) = f(x) \times g(x) \)，其中 \( f(x) = 3 \) 且 \( g(x) = x \)，并应用上面的定理 3：
\[ \lim_{x \to -5} m(x) = \lim_{x \to -5} 3 \times \lim_{x \to -5} x \]3 是常数函数，\( x \) 是具有已知极限的基本函数：
\[ \lim_{x \to -5} 3 = 3 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to -5} x = -5 \]因此：
\[ \lim_{x \to -5} m(x) = 3 \times (-5) = -15 \]例题 4
计算 \( \lim_{x \to 3} r(x) \)，其中 \( r(x) \) 由下式给出：
\[ r(x) = \dfrac{3 - x}{x} \]显示例题 4 的解答
设 \( r(x) = \dfrac{f(x)}{g(x)} \)，其中 \( f(x) = 3 - x \) 且 \( g(x) = x \)，并应用上面的定理 4：
\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{\lim_{x \to 3} (3 - x)}{\lim_{x \to 3} x} \]\( 3 - x \) 是两个基本函数的差，\( x \) 是一个基本函数：
\[ \lim_{x \to 3} (3 - x) = 3 - 3 = 0 \quad \text{且} \quad \lim_{x \to 3} x = 3 \]因此：
\[ \lim_{x \to 3} r(x) = \dfrac{0}{3} = 0 \]例题 5
计算 \( \lim_{x \to 5} m(x) \)，其中 \( m(x) \) 由下式给出：
\[ m(x) = \sqrt{2x - 1} \]显示例题 5 的解答
设 \( f(x) = 2x - 1 \)，通过应用上面的差法则和积法则求出其极限：
\[ \lim_{x \to 5} f(x) = 2 \times 5 - 1 = 9 \]现在我们应用定理 5，因为 9 的平方根是一个实数：
\[ \lim_{x \to 5} m(x) = \sqrt{9} = 3 \]